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Aufgabe:

Berechnen Sie die Distanz des Punktes a := (1, 1, 1) zur Sphäre S^2 := {x ∈ R^3 | ‖x‖ = 1}
bezüglich der Euklidischen Norm in R^3


Problem/Ansatz:

Also mein Ansatz wäre, dass ich inf d((x,y,z),(1,1,1)) mit (x,y,z)∈S^2

Dann habe ich doch

√((x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2)=√(x^2+y^2+z^2-2(x+y+z)+3).

Da ja √(x^2+y^2+z^2)=1 ist folgt x^2+y^2+z^2=1. Dann habe ich √(2(-x-y-z+2))

Jetzt komme ich nicht mehr weiter, kann mir da jemand helfen?, bzw ist das wa ich bisher gemacht habe richtig?

von

Für einen beliebigen Punkt x auf der Kugel gilt

||a-x|| ≥ | ||a|| - ||x|| | = √3 - 1

Insb ist inf || a-x || ≥ √3 - 1

Mathefs Antwort beschreibt wie man einen Punkt x mit

|| a - x || = √3 -1

findet. somit ist

inf || a - x || = √3 - 1

(Es ist d(x,y) = || x - y ||)

Danke dir, das hatte ich nicht mehr auf dem Schrim

Wie kommst du auf

||a-x|| ≥ | ||a|| - ||x||?

Weil wir hatten bloß ||x+y||≤||x||+||x||

Aus deiner Ungleichung folgt direkt

|| x + y || - || y || ≤ || x ||

Für alle x und y

Sind u und v beliebig setze

x = u - v und y = v

Dann folgt durch einsetzen

|| u || - || v || <= || u - v || (1)

Setzt man x = u - v und y = -u so folgt

|| -v || - || -u || <= || u - v ||

bzw

|| v || - || u || <= || u - v || (2)

Aus (1) ich (2) folgt zusammen

| || u || - || v || | <= || u - v ||

2 Antworten

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Beste Antwort

Man kann hier auch die Lagrange-Methode

zur Bestimmung von Extrema bei Nebenbedingungen verwenden:

Man sucht ein Minimum von \(f(x,y,z)=(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2\) unter der

Nebenbedingung \(g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0\)

von 16 k

Ich hätte dann x=y=z=1/√3 heraus und damit ein Abstand von -2√(3)+4 heraus. Ist das richtig?

Weiß nicht, wie du das gerechnet hast.
Bei mir kommt \(d=\sqrt{3}-1\) heraus.

Also nach meiner Vorlesung muss ich

∇f(x,y,z)=λ∇g(x,y,z) setzten <==>(2x-2,2y-2,2z-2)=λ(2x,2y,2z)

Dann habe ich nach x,y,z umgestellt und erhalte x=y=z=1/(1-λ).

Beim nächsten Schritt bin ich mir unsicher, da habe ich x,y,z in g eingesetzt um λ zu erhalten. Das wäre dann 1+√3 und 1-√3. Dann erhalte ich x=y=z=1/-√3 bzw x=y=z=1/√3, aber wenn ich das in f(x,y,z) einsetze erhalte ich nicht √3-1. Wo liegt mein Fehler?
Und wenn ich zwei Werte erhalte, wie zeige ich dann das es sich um kein Sattelpunkt handelt, so wie ohne Nebenbedingung oder muss ich dabei etwas beachten?

Ich habe das so gerechnet;

\(d=((1-1/\sqrt{3})^2+(1-1/\sqrt{3})^2+(1-1/\sqrt{3})^2)^{1/2}=\sqrt{3(1-1/\sqrt{3})^2}=\)

\(\sqrt{3}(1-1/\sqrt{3})=\sqrt{3}-1\).

Wie Peinlich, ich habe das ziehen der Wurzel am Ende vergessen. Jetzt stimmt mein Ergebnis auch. Vielen Dank

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Kannst ja geometrisch argumentieren:

Die S^2 hat den Mittelpunkt (0;0;0) und der

Strahl von (0;0;0) nach a schneidet die

Sphäre in dem Punkt, der a am nächsten liegt.

Die Punkte auf dem Strahl haben alle die

Koordinaten (x;x;x) mit x≥0.

Der Schnittpunkt mit S^2 ist der mit ||(x;x;x)||=1,

also x=1/√3. Also d=√3   -  1

von 257 k 🚀

Leider dürfen wir nicht geometrisch argumentieren, sondern nur für uns das veranschaulichen, aber trotzdem danke.

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