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Hallo, ich weiß nicht, wie ich bei folgender Aufgabe vorgehen soll.


Gegeben sei f : [1,2]R,f(x)=5x2 f:[1,2] \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=5 x-2 und die Zerlegung Zn={1,1+1n,1+2n,,1+n2n,1+n1n,2} Z_{n}=\left\{1,1+\frac{1}{n}, 1+\frac{2}{n}, \ldots, 1+\frac{n-2}{n}, 1+\frac{n-1}{n}, 2\right\} Berechnen Sie in Abhängigkeit von n n die Unter- und Obersumme und damit
125x2 dx \int \limits_{1}^{2} 5 x-2 \mathrm{~d} x


Danke im voraus

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Hallo,

f : [1,2]R,f(x)=5x2 f:[1,2] \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=5 x-2

Berechnen Sie in Abhängigkeit von n n die Unter- und Obersumme

Da die Funktion ff monoton steigend ist, gilt hier für Unter- UnU_n und Obersumme OnO_nUn=k=0n1f(1+kn)banOn=k=1nf(1+kn)banU_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1} f\left(1+\frac{k}{n}\right) \cdot \frac{b-a}{n} \\ O_n =\sum\limits_{k=1}^{n} f\left(1+\frac{k}{n}\right) \cdot \frac{b-a}{n}Und das Integral erhält man, wenn man bei einer der beiden Summen nn gegen \infty laufen lässt:=x=12(5x2)dx=limnUn=limnk=0n1(5(1+kn)2)1n=limnk=0n11n(3+5kn)=limn((3nk=0n11)+(5n2k=0n1k))=limn(3+5n2n(n1)2)=3+limn(5252n)=3+52=112\begin{aligned} &\phantom{=}\int\limits_{x=1}^{2} \left(5x - 2\right)\,\text dx \\&= \lim\limits_{n \to \infty} U_n\\ &= \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=0}^{n-1} \left(5\left(1+\frac{k}{n}\right)-2\right) \cdot \frac{1}{n}\\ &= \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n}\left(3+\frac{5k}{n}\right)\\ &= \lim\limits_{n \to \infty}\left(\left(\frac{3}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1} 1\right) + \left(\frac{5}{n^2}\sum\limits_{k=0}^{n-1} k \right)\right)\\ &= \lim\limits_{n \to \infty}\left(3 + \frac{5}{n^2}\cdot \frac{n(n-1)}{2}\right)\\ &= 3 + \lim\limits_{n \to \infty}\left(\frac{5}{2} - \frac{5}{2n}\right) \\ &= 3 + \frac 52\\ &= \frac{11}{2} \end{aligned}Die Berechnung auf Grundlage von OnO_n ist fast identisch

Gruß Werner

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