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Ich weiß, es gibt eine Vielzahl von Beweisen zum Einschnürungssatz, aber ist meiner auch okay?

Behauptung:

Sei (bn)(b_n) eine beliebige Folge. Existieren zwei Folgen (an)(a_n) und (cn)(c_n), welche gegen den glecihen Grenzwert aa konvergieren, mit  anbncna_n\leq b_n \leq c_n für alle nNn\in\mathbb{N}, so konvergiert auch (bn)(bn) gegen aa.

Beweis:

Sei ϵ>0\epsilon>0 beliebig, dann existieren wegen der Konvergen von (an)(a_n) und (cn)(c_n) gegen aa zwei Na,NcNN_a,N_c\in\mathbb{N}, s.d für alle nN=max{Na,Nc}n\geq N=\max\{ N_a,N_c\} gilt: an,cnUϵ(a)a_n,c_n \in U_{\epsilon}(a).

insbesonder ist dann der Intervall [an,cn]Uϵ(a)[a_n,c_n] \subset U_{\epsilon}(a)

Aus anbncna_n\leq b_n \leq c_n folgt bn[an,cn]bnUϵ(a)b_n\in [a_n,c_n] \Rightarrow b_n\in U_{\epsilon}(a).

Somit ist die Konvergenz von bnb_n gegen aa bewiesen.  

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an,cnUϵ(a)    [an,cn]Uϵ(a)a_n,c_n \in U_{\epsilon}(a) \implies [a_n,c_n] \subset U_{\epsilon}(a)

Wie begründest du diesen Schritt?

Die Epsilon-Umgebung enthält ja nicht nur (an)(a_n) und (cn)(c_n), sondern muss auch alle reellen Zahlen Werte dazwischen beinhalten.

Letzlich ist Uϵ(a)U_{\epsilon}(a) ein Intervall (aϵ,a+ϵ)(a-\epsilon, a +\epsilon), stellt man sich den berüchtigten ϵ\epsilon-Schlauch vor, kann man sich ja eine Linie zwischen (an)(a_n) und (cn)(c_n) vorstellen. Alle Punkte auf dieser Strecke befinden sich innerhalb des "Schlauchs" .


Hoffe meine Idee kommt rüber :)

Die Idee kommt natürlich rüber. Nur ist unklar ob das für einen Beweis ausreicht.

Du verwendest hier, dass Uε(a) U_\varepsilon(a) konvex ist:

https://de.wikipedia.org/wiki/Konvexe_Menge

Einen Beweis dieser Aussage findest du z.B. hier:

https://mathe planet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=162484

PS: Du musst leider das Leerzeichen in der zweiten URL bei Mathe planet entfernen, da dieses Forum keine Links zu diesem Forum gestattet. (Warum auch immer...)

Ah, danke dir, habe mich schon gewundert, warum mein "Beweis" nirgendwo verwendet wird, konvexe Mengen werden eher später eingeführt.

Ich finde dein Kommentar geht als Antwort durch :)

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