Es sei v ∈ Rn Zeigen Sie, dass [v, x] = 0 für alle x ∈ Rn genau dann gilt, wenn v = 0.

Question

Aufgabe:

Es sei v ∈ Rⁿ

Zeigen Sie, dass
[v, x] = 0

für alle x ∈ Rⁿ
genau dann gilt, wenn v = 0.

Problem/Ansatz:

Könnte ich als Beweis einfach v= 0 setzen und eine Summe die von k=0 bis m zählt und dabei x immer um 1 erhöht miteinander multiplizieren? Damit sollte ja bewiesen sein, dass jede Multiplikation von v und x = 0 ist wenn v=0. Oder muss ich da was anderes beachten, da v und x im Rⁿ sind?

Comments

Die eckige Klammer bezeichnet das

Skalarprodukt ???

Dann betrachte einfach ein x = (x1,x2,...,xn)

und bilde die Skalarprodukte mit jedem der

kanonischen Einheitsvektoren.

Für die Umkehrung wähle als v den Nullvektor.

Answer 1

Ich meinte das so:  Sei x irgendein Vektor aus Rⁿ, also

$v = \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\ \cdots \\ x_n \end{pmatrix}$

Und v hat mit allen Vektoren aus Rⁿ das Skalarprodukt 0,

also insbesondere auch mit $e_1 = \begin{pmatrix} 1\\0\\ \cdots \\ 0 \end{pmatrix}$

Dann folgt bei eurer Schreibweise des Skalarproduktes

[v,e₁] = $x_1 \cdot 1 + x_2 \cdot 0 + \cdots + x_n \cdot 0 = 0$

also kurz   $x_1 = 0$

Entsprechend für die anderen Komponenten, also ist x der 0-Vektor.

Wenn umgekehrt bekannt ist: v ist der Nullvektor und x irgendeiner.

etwa $x = \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\ \cdots \\ x_n \end{pmatrix}$

Dann ist das Skalarprodukt

[v,x] = $x_1 \cdot 0 + x_2 \cdot 0 + \cdots + x_n \cdot 0 = 0$

q.e.d.