untersuchen natürliche n

Question

…

Untersuchen Sie , ob es eine natürliche Zahl n gibt , für die

1/(n) + 1/(n+1) + .... + 1/(n²) > 2022

gilt

Problem/Ansatz:

… Wie kann ich diese Aufgabe lösen ?

Comments

Es soll "untersucht" werden. Da gibt es mehrere Möglichkeiten.

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Vielleicht klappt's mit der Berechnung des Integrals $\displaystyle\int_n^{n^2}\frac{\mathrm dx}x=\log n$ mithilfe der Riemannsummen.

Answer 1

Durch die Untersumme erkennt man

$\begin{aligned} \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \geqslant \int \limits_{1}^{n} \frac{1}{x+1} d x\end{aligned}$

und somit

$\begin{aligned} \sum \limits_{k=0}^{n^{2}-n} \frac{1}{n+k}=\sum \limits_{k=1}^{n^{2}} \frac{1}{k}-\sum \limits_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} & \geqslant \int \limits_{1}^{n^{2}} \frac{1}{x+1} d x-\int \limits_{1}^{n-1} \frac{1}{x+1} d x \\ &=\int \limits_{n-1}^{n^{2}} \frac{1}{x+1} d x \\ &=[\ln (x+1)]_{n-1}^{n^{2}} \\ &=\ln \left(n^{2}+1\right)-\ln (n) \geqslant \ln (n) \end{aligned}$

Answer 2

Hallo

die Summe ist größer als der letzte Summand  also 1/n² mal Zahl der Summanden =n²-n= n*(n-1)

sie ist kleiner als die Anzahl * dem ersten Summanden

sorry aber die Idee mit dem Integral ist wohl besser, , das sah ich erst jetzt

lul