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Zeigen Sie mit vollständiger Induktion für \( n \in \mathbb{N}_{0} \),

\( \sum \limits_{k=0}^{2 n} i^{k} k=\left\{\begin{array}{ll} n(1-i) & \text { wenn } n \text { gerade } \\ -(n+1)+n i & \text { sonst } \end{array}\right. \)


Problem/Ansatz: i habe die Summe von 0 bis 2n+2 -[ 2 (n+1) ]- gerechnet und habe die Lösungen, die in der Aufgabe sind, nicht gefunden ... könnte jemand mir bitte helfen?

von

2 Antworten

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Hallo

zeig deine Rechnung bitte, hast du denn den Anfang für n=2?

vielleicht ist es nur ein kleiner Fehler?

Warum hast du die Differenz berechnet und nicht einfach die Induktion  für gerade und ungerade Zahlen gemacht?

Gruß lul

von 86 k 🚀

Ich verstehe nicht wie man genau die Induktion für gerade n macht, ich hänge hier fest an der stelle:

n(1-i) + \( i^{n+1} \) * (n+1)

Auf diese form bin ich gekommen im Induktionsschritt wo ich n + 1 rausgezogen habe:

\( \sum\limits_{k = 0}^{2(n+1)}{ i^{k}  * k} \) =

\( \sum\limits_{k = 1}^{2n}{ i^{k}  * k +   i^{n+1}  * (n+1)} \)

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Den Index k = 0 kann man weglassen, denn dieser Summand ist 0. Die Potenzen von i können nur die vier Werte +i,-1,-i,+1 annehmen. Die Summe kann somit in jeweils vier Summanden aufgeteilt werden:

\( \sum\limits_{k=1}^{j}{k*i^k} = \)

1*(+i) + 2*(-1) + 3*(-i) + 4*(+1) +

5*(+i) + 6*(-1) + 7*(-i) + 8*(+1) +

9*(+i) + 10*(-1) + 11*(-i) + 12*(+1) ...

Man erkennt leicht, dass sich jede Vierer-Summe auf den konstanten Wert -2i +2 beschränkt.

1*(+i) + 2*(-1) + 3(-i) + 4*(+1) = -2i+2

5*(+i) + 6*(-1) + 7*(-i) + 8*(+1) = -2i+2

9*(+i) + 10*(-1) + 11*(-i) + 12*(+1) = -2i+2

Daraus folgt für j durch 4 teilbar:

\( \sum\limits_{k=1}^{j}{k*i^k} = \frac{j}{4}(-2i+2)\)

Setzt man j = 2n mit n gerade (daraus folgt j ist durch 4 teilbar), dann ergibt sich

\( \sum\limits_{k=1}^{2n}{k*i^k} = \frac{2n}{4}(-2i+2) = n(-i+1) \)

Ist j nur durch 2 teilbar (daraus folgt j+2 ist durch 4 teilbar), dann muss man von der letzen Vierer-Summe die letzten beiden Summanden abziehen. Daraus folgt:

\( \sum\limits_{k=1}^{j}{k*i^k} = \frac{j+2}{4}(-2i+2) \boxed{ - (j+2-1)*(-i) - (j+2)*(+1)} \)

Setzt man j = 2n mit n ungerade (daraus folgt j ist durch 2 teilbar), dann ergibt sich

\( \sum\limits_{k=1}^{2n}{k*i^k} = \frac{2n+2}{4}(-2i+2) - (2n+2-1)*(-i) - (2n+2)*(+1) = \)

\( (n+1)(-i+1) - (2n+1)(-i) - (2n+2) = \)

\( -i*n - i + n + 1 + 2n*i + i -2n -2 = n*i - n -1 = n(i-1) -1\)

von 3,4 k

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