Aloha :)
Gegeben ist uns die Punktmenge \(P\coloneqq\{(x;y)\in\mathbb R^2\big|x^2+y^2\le a^2\}\).
Diese sollen wir mit Polarkoordinaten darstellen:$$\binom{x}{y}=\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\quad;\quad r\in[0;\infty)\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\;dF=r\,dr\,d\varphi$$
Wir müssen prüfen, wie die Intervalle für \(r\) und \(\varphi\) anzupassen sind:$$x^2+y^2\le a\implies(r\cos\varphi)^2+(r\sin\varphi)^2\le a^2\implies r^2(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)\le a^2\implies r^2\le a^2$$Die obere Grenze für das \(r\)-Intervall muss also von \(\infty\) auf \(a\) reduziert werden: \(r\in[0;a]\).
Das gesuchte Integral lautet damit:$$I=\int\limits_Pe^{x^2+y^2}\,dF=\int\limits_{r=0}^a\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}e^{r^2\cos^2\varphi+r^2\sin\varphi}\,r\,dr\,d\varphi=\int\limits_{r=0}^a\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}e^{r^2}r\,dr\,d\varphi$$$$\phantom{I}=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{r=0}^{a}e^{r^2}r\,dr=\left[\varphi\right]_{\varphi=0}^{2\pi}\cdot\left[\frac{e^{r^2}}{2}\right]_{r=0}^a=(2\pi-0)\cdot\frac12\left(e^{a^2}-e^0\right)=\pi(e^{a^2}-1)$$
