Zeigen Sie, dass f in jedem Punkt x ∈ ℝ differenzierbar ist und berechnen Sie die Ableitung.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Die Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sei wie folgt definiert:
$f(x):=\left\{\begin{array}{cc} 0, & x=0 \\ x^{2} \cos \left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0 \end{array}\right.$
Zeigen Sie, dass $f$ in jedem Punkt $x \in \mathbb{R}$ differenzierbar ist und berechnen Sie die Ableitung. Ist die Ableitung stetig?

Problem/Ansatz: wie kann man diese Aufgabe lösen? Danke im Voraus

Comments

Ich habe die Aufgabe korrigiert.

Answer 1

$f$ ist für $x\neq 0$ differenzierbar aufgrund von Produkt-, Ketten- und Potenzregel.

Für Differenzierbarkeit bei 0, zeige dass

        $\lim\limits_{h\nearrow 0}\frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim\limits_{h\searrow 0}\frac{f(0+h) - f(0)}{h}$

ist.

Comments

Und wie kann ich denn weiterschreiben?

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Brauchst du nicht. Wenn du gezeigt hast, dass

        $\lim\limits_{h\nearrow 0}\frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim\limits_{h\searrow 0}\frac{f(0+h) - f(0)}{h}$

ist, dann bist du fertig.