Wann benutze ich den ln und wann den log?

Question

Aufgabe:

Wann benutze ich den ln und wann den log ?

Problem/Ansatz:

Comments

Logarithmen werden, streng genommen, immer mit einer Basis angegeben. $\ln(x)$ steht meist für den Logarithmus zur Basis $e$, man spricht vom "natürlichen Logarithmus". $\log$ schreibt man meist für den dekadischen Logarithmus, also den Logarithmus zur Basis $10$.

Man löst $a^x=b$ mit $x=\log_a(b)$, wenn $a=10$, dann dekadischer Logarithmus, wenn $a=e$ dann natürlicher Logarithmus, ...

Kurz: $\ln(x)=\log_e(x)$ und $\log(x)=\log_{10}(x)$. [Das hängt aber auch von der Konvention ab, die ihr nutzt]

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Ich sage den Logasthenikern immer, ln bedeutet "e hoch wieviel" und lg (log₁₀) bedeutet "10 hoch wieviel". Das begreift dann jeder.

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Hallo

bei fast allen Rechnungen kann man ln oder lg=log₁₀ benutzen, nur manchmal ist der eine manchmal der andere etwas praktischer

einfaches Beispiel 10=e^x  entweder ln(10)=x oder lg10=x*lg(e)

oder 17=10^x  lg(17)=x oder ln(17)=x*ln(10)  praktisch wenn man einen TR mit nur ln oder lg hat, ausserdem hast du jetzt zusätzlich ln(17)/ln(10)=lg(17) ode ln(10)=lg(10)/lg(e) also die umrechnen von lg nach ln und umgekehrt.

spätestens bei 7^x=33 ist es wirklich egal, da kein TR log₇ hat!

Gruß lul

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spätestens bei 7x=33 ist es wirklich egal, da kein TR log7 hat!

Das stimmt nicht.

Seit einigen Jahren haben einige Taschenrechner eine log-Taste für beliebige Basen.

Siehe Mathecoachs Symbolbild!

:-)

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Hallo

Wunderbar, dann muss man jetzt gar nichts mehr über Umrechnung von log wissen!

Aber wissen, dass es egal ist welchen log man benutzt sollte man doch wohl?

lul

Answer 1

Die Gleichung

        $3^x = 81$

wird gelöst indem auf beiden Seiten der Logarithmus zur Basis 3 gezogen wird:

        $\begin{aligned} 3^{x} & =81 & & |\log_{3}\\ \log_3\left(3^{x}\right) & =\log_{3}\left(81\right)\\ x & =4 \end{aligned}$

Hast du in deiner Gleichung eine andere Basis als $3$, dann kannst du den Logarithmus zu dieser anderen Basis verwenden.

Der Logarithmus $\ln$ ist der Logarithmus zur Basis $\mathrm{e}$, der eulerschen Zahl.

Der Logarithmus $\log$ ohne explizite Angabe der Basis ist der Logarithmus

1. zur Basis $10$, oder
2. zur Basis $\mathrm{e}$, oder
3. zu einer Basis, die aus dem Zusammenhang klar ist, oder
4. zu einer Basis, die nicht von Bedeutung ist.

Punkt 1. trifft oft bei Taschenrechnern zu. Punkt 2. ist in der Mathematik üblich. Punkt 3. ist mir noch nicht begegnet. Punkt 4 ist wegen des Logarithmusgesetzes

        $\log_a\left(b^c\right)=c\cdot \log_a(b)$

möglich. Damit kann man nämlich die Gleichung

        $3^{x+1}=5^x$

wie folgt lösen:

        $\begin{aligned} 3^{x+1} & =5^{x} & & |\log\\ \log\left(3^{x+1}\right) & =\log\left(5^{x}\right)\\ \left(x+1\right)\cdot\log\left(3\right) & =x\cdot\log\left(5\right)\\ x\cdot\log\left(3\right)+\log\left(3\right) & =x\cdot\log\left(5\right) & & |-x\cdot\log\left(3\right)\\ \log\left(3\right) & =x\cdot\log\left(5\right)-x\cdot\log\left(3\right)\\ \log\left(3\right) & =x\cdot\left(\log\left(5\right)-\log\left(3\right)\right) & & |:\left(\log\left(5\right)-\log\left(3\right)\right)\\ \frac{\log\left(3\right)}{\log\left(5\right)-\log\left(3\right)} & =x \end{aligned}$

Überprüfe mit einem Taschenrechner, dass der Ausdruck $\frac{\log_a\left(3\right)}{\log_a\left(5\right)-\log_a\left(3\right)}$ für verschiedene Werte von $a$ ungefähr den gleichen Wert hat.