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Aufgabe:

Zeige, dass die Funktion
f : R2R(x,y)x2+x+2x2+y2+1 \begin{aligned} f: \mathbb{R}^{2} & \rightarrow \mathbb{R} \\ (x, y) & \mapsto x^{2}+\frac{x+2}{x^{2}+y^{2}+1} \end{aligned}
stetig ist.


Problem/Ansatz:

Wie zeigt man die Stetigkeit in diesem Beispiel?

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1 Antwort

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Hallo,

gehen wir von der Definition aus und untersuchen die Stetigkeit von f in einem beliebigen Punkt (x0,y0)R2(x_0,y_0) \in \mathbb{R}^2. Dazu betrachten wir eine beliebige Folge ((xn,yn))((x_n,y_n)) in R2\mathbb{R}^2 mit

((xn,yn))(x0,y0), also xnx0,yny0((x_n,y_n)) \to (x_0,y_0), \text{ also } x_n \to x_0, y_n \to y_0

Dann folgt aus den Grenzwertsätzen für reelle Folgen
xn+2x0+2,xn2+yn2+1x02+y02+1,xn+2xn2+yn2+1x0+2x02+y02+1x_n+2 \to x_0+2, \qquad x_n^2+y_n^2+1 \to x_0^2+y_0^2+1, \qquad \frac{x_n+2}{x_n^2+y_n^2+1} \to \frac{x_0+2}{x_0^2+y_0^2+1}

Und schließlich

f(xn,yn)x02+x0+2x02+y02+1=f(x0,y0)f(x_n,y_n) \to x_0^2+\frac{x_0+2}{x_0^2+y_0^2+1}=f(x_0,y_0)

Gruß Mathhilf

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vielen lieben dank für deine antwort und hilfe :)

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