Beweis zur Äquivalenz von Metriken.

Question

Aufgabe:

Sei M ≠ ∅ eine Menge und seien d₁, d₂ Metriken auf M. Nun soll ich beweisen, dass wenn ein C>0 gibt mit

\( \frac{1}{C} \)d₁(x,y) ≤ d₂(x,y) ≤ Cd₁(x,y) für alle x,y ∈ M. Dann haben die metrischen Räume (M, d₁) und (M, d₂) dieselben offenen Mengen.

Problem/Ansatz:

Hey Leute, ich hoffe Ihr könnt mir dabei helfen, denn ich habe leider keine Idee wie ich das lösen kann. Das Thema Metriken ist ganz neu und da ich erst in Analysis 1 bin, noch nicht so leicht zu verstehen… Meine Idee war: Wir nehmen eine offene Menge aus einem Metrischen Raum und zeigen, dass diese auch offen in dem anderen liegt, jedoch weiß ich nicht wie. Unsere Definition einer offenen Menge: (M, d) metrischer Raum und A ⊆ M. Dann ist A offen in M gdw. ∀x₀∈A∃ε>0: Ball(x₀,ε)⊆A

Ich freue mich über jede Hilfe :)

Answer 1

Wir nehmen eine offene Menge aus einem Metrischen Raum und zeigen, dass diese auch offen in dem anderen liegt,  Gute idee:

Sei also A offen in M nach Metrik d1.

==>  ∀x₀∈A∃ε>0: Ball(x₀,ε)⊆A

und Ball(x₀,ε)⊆A bedeutet ja: Für alle x∈M gilt

                            d1(x₀,x) < ε ==>    x∈A .

Also muss man zeigen: Wenn es ein ε gibt

mit   d1(x₀,x) < ε ==>    x∈A , dann gibt es auch ein δ

mit   d2(x₀,x) < δ ==>   d1(x₀,x) < ε.

Sei also ε>0 mit d1(x₀,x) < ε ==>    x∈A. #

Wähle δ= 1/C * ε   (wegen C>0 ist das auch >0)

==>  d2(xo,x)<δ. Nach Vor. ist d2(xo,x) ≥ 1/C d1(xo,x), also

==>  1/C d1(xo,x) <δ =  1/C * ε

==>           d1(xo,x) < ε , also x∈A. wegen #.

So ähnlich wird man auch:

A offen bei d2 ==>   A offen bei d1 zeigen können.

Answer 2

Hallo,

Du hast schon alle nötigen Infos zusammengestellt.

Sei \(A \sube M\) offen bezüglich d1. Wir wollen zeigen, dass es auch bezüglich d2 offen ist.

Dazu betrachten wir ein \(x \in A\) und suchen ein r>0 mit \(B_2(x,r) \sube A\). Wir wissen, dass es ein e>0 gibt mit \(B_1(x,e) \sube A\). Wenn wir r jetzt so bestimmen können, dass \(B_2(x,r) \sube B_1(x,e)\), dann sind wir fertig.

\(B_2(x,r) \sube B_1(x,e)\) bedeutet: Für alle y gilt: \(d_2(x,y) < r \Rightarrow d_1(x,y) < e\). Aufgrund der Äquivalenzbedingung kann man r=e/c nehmen.

Gruß Mathhilf