Hauptachsentransformation bei einer Quadrik

Question

Aufgabe:

Gegeben ist im Standardkoordinatensystem \( \mathbb{E} \) die Quadrik
\( Q=\left\{x \in \mathbb{R}^{2} \mid \sqrt{2} x_{1}^{2}+2 \sqrt{2} x_{1} x_{2}+\sqrt{2} x_{2}^{2}-10 x_{1}-6 x_{2}=0\right\} \)
(a) Geben Sie die Matrixbeschreibung von \( Q \) an.
(b) Bestimmen Sie die euklidische und die affine Normalform sowie die Gestalt von \( Q \).
(c) Bestimmen Sie ein Koordinatensystem \( \mathbb{F} \), bezüglich dessen \( Q \) euklidische Normalform besitzt, sowie die zugehörigen Koordinatentransformationen \( \mathrm{E}_{\mathbb{F}} \) und \( \mathrm{F} \kappa_{\mathbb{E}} \).
(d) Liegt der Ursprung von \( \mathbb{E} \) auf der Quadrik \( Q \) ? Skizzieren Sie \( \mathbb{F} \) und die Quadrik \( Q \) im Standardkoordinatensystem \( \mathbb{E} \).

Answer 1

A bisschen viel verlangt bei dem umfangreichen auftrag, so ganz ohne eigenbeitrag,

affine normal form quadratisch ergänzen mit

\(T' \, :=  \, \left\{ x_o = x + y - \frac{5}{2} \; \sqrt{2}, y_o = y \right\} \)

==>

\(q_N: \, \sqrt{2} \; x_o^{2} + 4 \; y_o - \frac{25}{2} \; \sqrt{2} = 0\)

euklidische normalform

https://www.geogebra.org/m/jybmgrce

Comments

\(q_N: \, \sqrt{2} \; x_o^{2} + 4 \; y_o - \frac{25}{2} \; \sqrt{2} = 0\)

(?) ... nach der Hauptachsentransformation mit $$S = \frac{\sqrt 2}{2}\begin{pmatrix}-1& -1\\ 1& -1\end{pmatrix}$$bekomme ich$$x^{2}+4x-y=0$$ bzw.$$y = (x+2)^2 - 4$$auf dem Bild oben ist die grüne Parabel doch 'dicker' als die blaue.

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Ich hab eine affine Normalform (keine euklidische mit Drehung und Translation!) gezeigt - da wird nur quadratisch ergänzt.

in einer euklidischen NF sind winkel und längen invariant. das ist bei affinen NF nicht der fall.

https://www.geogebra.org/m/tmakcd2s

Für die euklidische Normalform siehe Link oben

da komme ich mit Deiner Drehung aber auf

\(q_N: \; y^{2} + \; x = 4\)

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da komme ich mit Deiner Drehung aber auf ...

Die Matrix \(S\) dreht um \(+135°\) auf dem Bild ist es von blauer zu roter Parabel \(-135°\). Ist immer die Frage, was das \(S\) aussagen soll ... ist wohl eine Sache der Definition.