Hauptachsentransformation bei einer Quadrik

Question

Aufgabe:

Gegeben ist im Standardkoordinatensystem $\mathbb{E}$ die Quadrik
$Q=\left\{x \in \mathbb{R}^{2} \mid \sqrt{2} x_{1}^{2}+2 \sqrt{2} x_{1} x_{2}+\sqrt{2} x_{2}^{2}-10 x_{1}-6 x_{2}=0\right\}$
(a) Geben Sie die Matrixbeschreibung von $Q$ an.
(b) Bestimmen Sie die euklidische und die affine Normalform sowie die Gestalt von $Q$.
(c) Bestimmen Sie ein Koordinatensystem $\mathbb{F}$, bezüglich dessen $Q$ euklidische Normalform besitzt, sowie die zugehörigen Koordinatentransformationen $\mathrm{E}_{\mathbb{F}}$ und $\mathrm{F} \kappa_{\mathbb{E}}$.
(d) Liegt der Ursprung von $\mathbb{E}$ auf der Quadrik $Q$ ? Skizzieren Sie $\mathbb{F}$ und die Quadrik $Q$ im Standardkoordinatensystem $\mathbb{E}$.

Answer 1

A bisschen viel verlangt bei dem umfangreichen auftrag, so ganz ohne eigenbeitrag,

affine normal form quadratisch ergänzen mit

$T' \, := \, \left\{ x_o = x + y - \frac{5}{2} \; \sqrt{2}, y_o = y \right\}$

==>

$q_N: \, \sqrt{2} \; x_o^{2} + 4 \; y_o - \frac{25}{2} \; \sqrt{2} = 0$

euklidische normalform

https://www.geogebra.org/m/jybmgrce

Comments

$q_N: \, \sqrt{2} \; x_o^{2} + 4 \; y_o - \frac{25}{2} \; \sqrt{2} = 0$

(?) ... nach der Hauptachsentransformation mit $$S = \frac{\sqrt 2}{2}\begin{pmatrix}-1& -1\\ 1& -1\end{pmatrix}$$bekomme ich$$x^{2}+4x-y=0$$ bzw.$$y = (x+2)^2 - 4$$auf dem Bild oben ist die grüne Parabel doch 'dicker' als die blaue.

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Ich hab eine affine Normalform (keine euklidische mit Drehung und Translation!) gezeigt - da wird nur quadratisch ergänzt.

in einer euklidischen NF sind winkel und längen invariant. das ist bei affinen NF nicht der fall.

https://www.geogebra.org/m/tmakcd2s

Für die euklidische Normalform siehe Link oben

da komme ich mit Deiner Drehung aber auf

$q_N: \; y^{2} + \; x = 4$

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da komme ich mit Deiner Drehung aber auf ...

Die Matrix $S$ dreht um $+135°$ auf dem Bild ist es von blauer zu roter Parabel $-135°$. Ist immer die Frage, was das $S$ aussagen soll ... ist wohl eine Sache der Definition.