Zeigen Sie, dass A genau dann diagonalisierbar ist, wenn B diagonalisierbar ist.

Question

Aufgabe:

Sei $A \in \mathbb{C}^{n, n}, c \in \mathbb{C}$ und $B:=A-c \cdot E_{n}$. Zeigen Sie, dass $A$ genau dann diagonalisierbar ist, wenn $B$ diagonalisierbar ist.

Answer 1

$A$ diagonalisierbar $\iff \exists S\in GL(V)$, so dass

$D=S^{-1}AS$ eine Diagonalmatrix ist.

Dann ist $S^{-1}BS=S^{-1}AS-cS^{-1}E_nS=D-cE_n$, was

offenbar eine Diagonalmatrix ist.

Ist $B$ diagonalisierbar, so folgt aus dem Bewiesenen

$A=B-(-c)E_n$ ist diagonalisierbar.

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