wie Differentialgleichung lösen?

Question

Aufgabe:

gebe die allgemeine Lösung der Differentialgleichung an.

\( y^{ \prime } \) * \( \sqrt{4-x^2} \) = arcsin(\( \frac{x}{2} \)) , |x| < 2

Problem/Ansatz:

Wie ist die Gleichung zu lösen?

Answer 1

Aloha :)

Diese Differentialgleichung kannst du direkt integrieren:$$y'(x)=\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\,\arcsin\left(\frac x2\right)\quad;\quad|x|<2$$$$y(x)=\int\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\,\arcsin\left(\frac x2\right)\,dx$$Die Ableitung von \(\arcsin(\frac x2)\) ist gleich \(\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\). Daher steht auf der rechten Seite ein Standardintegral:$$\int f'(x)\cdot f(x)\,dx=\frac12\left[f(x)\right]^2+C\quad\text{mit}\quad f(x)=\arcsin\left(\frac x2\right)$$Damit sind wir schon fertig:$$y(x)=\frac12\arcsin^2\left(\frac x2\right)+C$$

Comments

Ergänzung: Ableitung der Umkehrfunktion

Die Ableitung von Umkehrfunktionen kann man mit der Kettenregel bestimmen, weil Funktion und Umkehrfunktion im passenden Definitionsbereich ihre Wirkung gegenseitig aufheben:$$\sin\left(\arcsin\left(\frac x2\right)\right)=\frac x2$$Jetzt leitest du beide Seiten ab. Auf der linken Seite nimmst du dazu die Kettenregel, ohne aber die innere Ableitung auszuführen:$$\underbrace{\cos\left(\arcsin\left(\frac x2\right)\right)}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{\arcsin'\left(\frac x2\right)}_{\text{innere Abl.}}=\frac 12\quad\big|\cos(\alpha)=\sqrt{1-\sin^2(\alpha)}$$$$\sqrt{1-\sin^2\left(\arcsin\left(\frac x2\right)\right)}\cdot\arcsin'\left(\frac x2\right)=\frac12$$$$\sqrt{1-\left(\frac x2\right)^2}\cdot\arcsin'\left(\frac x2\right)=\frac12$$$$\arcsin'\left(\frac x2\right)=\frac{1}{2\cdot\sqrt{1-\left(\frac x2\right)^2}}=\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}$$