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Aufgabe:

Sei a := cos (2π/5)
. Zeigen Sie, dass [Q(a) : Q] = 2 ist. Bestimmen Sie das
Minimalpolynom von a über Q


Problem/Ansatz:

Zeigen Sie, dass Q(a) = Q5 ∩ R der Fixkörper der komplexen Konjugation
auf Q5 ist damit wäre ja die aufgabe gelöst abdr wie zeige ich das

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Sei \(\zeta=e^{i\cdot 2\pi/5}\). Dann ist \(1,\zeta,\zeta^2,\zeta^3\) eine

Basis von \(Q_5/Q\) mit \(1+\zeta+\zeta^2+\zeta^3+\zeta^4=0\).

Se \(\tau\) der Automorphismus, der durch \(\tau(\zeta)=\overline{\zeta}=\zeta^{-1}\)

gegeben ist. Wir bestimmen den Fixkörper bzgl. \(\tau\):

Sei \(z=x_0+x_1\zeta+x_2\zeta^2+x_3\zeta^3\), dann ist

\(\tau(z)=x_0+x_1(-1-\zeta-\zeta^2-\zeta^3)+x_2\zeta^3+x_3\zeta^2=\)

\(=x_0-x_1-x_1\zeta+(x_3-x_1)\zeta^2+(x_2-x_1)\zeta^3\).

Aus \(\tau(z)=z\) ergibt sich

\(x_0-x_1=x_0, \; x_1=-x_1, \; x_3-x_1=x_2, \; x_2-x_1=x_3\),

folglich \(x_1=0, \; x_2=x_3\), also

\(z=x_0+x_2(\zeta^2+\zeta^3)\).

Man sieht nun leicht ein, dass

\(Q(\zeta^2+\zeta^3)=Q(a)\) ist.

Ich erhalte als Minimalpolynom von \(a\):

\(X^2-\frac{1}{2}X-\frac{1}{4}\), natürlich ohne Gewähr ;-)

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