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Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Galoisgruppe Gal(Q12/Q) des Kreisteilungskörpers Q12
uber Q zu (Z/2Z)^2 isomorph ist.


Problem/Ansatz:

Beschreiben Sie den Körper Q12 als Q(a, b) mit expliziten Elementen a, b,
wobei [Q(a) : Q] = [Q(b) : Q] = 2 ist

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Sei \(a=i\), dann ist \([Q(i):Q]=2\).

Ferner sei \(b=\omega\) mit einer primitiven 3-ten Einheitswurzel \(\omega\),

für die gilt: \(\omega^2+\omega+1=0\).

Dann ist auch \([Q(\omega):Q]=2\).

Da \(ord(i)=4\) und \(ord(\omega)=3\) teilerfremd sind,

ist \(ord(i\omega))=12\), d.h. \(i\omega\) ist eine primitive

12-te Einheitswurzel und es gilt

\(Q(i\omega)=Q(i,\omega)\).

Nun definieren wir \(\sigma\in Gal(Q_{12}/Q)\) durch

\(\sigma(i)=-i, \quad \sigma(\omega)=\omega\quad \)

und \(\tau \in Gal(Q_{12}/Q)\) durch

\(\tau(\omega)=\omega^2,\quad \tau(i)=i\).

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