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Aufgabe:

Berechnen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

\( \left(\begin{array}{l}\dot{x}_{1}(t) \\ \dot{x}_{2}(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{1}(t) \\ x_{2}(t)\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\sin (t) \\ 0\end{array}\right) . \)


Problem/Ansatz:

Wie bekomme ich hier die homogene Lösung? Wir haben immer den Ansatz
\( x_{\mathrm{hom}}(t)=\exp (t A) c \)
benutzt, aber hier lässt sich die Matrix nicht diagonalisieren

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Ich hätte es so gelöst. Ansonsten über die EW und EV lösen

Das x ganz oben links soll natürlich noch einen Punkt oben drüber haben!


Edit: Vergiss meine Antwort... Dachte es handelt sich bei X um eine Matrix...

2 Antworten

+1 Daumen

Hallo,

Wie bekomme ich hier die homogene Lösung?

a) Eigenwerte:

det (A -λ E)=  0

$$\begin{vmatrix} 1-λ & 1  \\ 0 & 1-λ \end{vmatrix}$$ = 0

\( (1- λ)^{2} \) =0

λ1,2=1

----->

x1=C1 e^x +C2 x e^x

b) x2=(1/a12)(x1 ' -a11x1) allgemein , ohne Berechnung der Eigenvektoren

a11=1

a12=1

-> x1'= C1 e^x +C2 (x+1) e^x

-->

x2 =  C1 e^x +C2 (x+1) e^x - (C1 e^x +C2 x e^x)

x2=C2 (x+1) e^x -C2 x e^x =C2 x e^x +C2 e^x -C2 x e^x

x2=C2 e^x

----->

x1=C1 e^x +C2 x e^x

x2=C2 e^x

Avatar von 121 k 🚀
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Hallo

für die homogene Lösung eigenwerte und dann Eigenvektoren der Matrix bestimmen.

Gruß lul

Avatar von 106 k 🚀

Warum nicht einfach zunächst \(\dot x_2(t)=x_2(t)\) und damit
dann \(\dot x_1(t)=x_1(t)+x_2(t)+\sin(t)\) lösen?

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