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Aufgabe:

Zeigen Sie, dass folgende Abbildung nicht linear ist: h : R3R2 h: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}
h((x1x2))=(x1+x2x1+4). h\left(\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{c} x_{1}+x_{2} \\ x_{1}+4 \end{array}\right) .

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Zeigen Sie, dass folgende Abbildung nicht linear ist: h : R3R2 h: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}
h((x1x2x3))=(x1+x2x12) h\left(\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{c} x_{1}+x_{2} \\ x_{1}^{2} \end{array}\right)


Problem/Ansatz:

Vielen dank für Antworten

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Etwas mehr Eigeninitiative sollte drin sein...

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Aloha :)

zu a) Für jede lineare Abbildung f(x)f(x) muss gelten:f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)    f(0)=0f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)\implies f(0)=0Das heißt, jede lineare Abbildung muss die 00 auf die 00 abbilden. Hier gilt aber:h((00))=(04)(00)h\left(\binom{0}{0}\right)=\binom{0}{4}\ne\binom{0}{0}Daher ist hh nicht linear.

zu b) Betrachte:h((100))=(11);h((200))=(24);h((300))=(39)    h\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right)=\binom{1}{1}\quad;\quad h\left(\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}\right)=\binom{2}{4}\quad;\quad h\left(\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}\right)=\binom{3}{9}\quad\impliesh((100))+h((200))h((300))h\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right)+h\left(\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}\right)\ne h\left(\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}\right)Auch diese Abbildung hh ist nicht linear.

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Eine Lineare Abbildung von R³ nach R² lässt sich doch schreiben als

f(x1, x2, x3) = (a·x1 + b·x2, c·x1 + d·x2)

Keine deiner Funktionen h kann ich in diese Form bringen.

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