Bei der folgende Aufgabe habe ich die Lösung aber ich weiß es nicht, wie man darauf kommt!!! Z.B. bei der Beschränktheit: Woher kommt 1/n und n.1/n? Und bei der Monotonie: Woher kommt 1/2n+1 + 1/2n+2 - 1/n+1?? Und nach der Gleichungszeichen gibt es nicht mehr - 1/n+1:confused: Ich werde sehr dankbar, wenn ihr mir weiter helfen könntet!
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Aufgabe A.4.2 (Beschränktheit, Monotonie und Konvergenz)
Untersuchen Sie die nachstehende Folge \( \left(a_{n}\right) \) auf Beschränktheit, Monotonie und Konvergenz:
\( a_{n}:=\sum \limits_{k=n+1}^{2 n} \frac{1}{k} . \)
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- Beschranktheit:
Ofenbar gilt für alle neN H Her gitt es mer \( 0<a_{n}=\sum \limits_{k=n+1}^{2 n} \frac{1}{k} \leqslant \sum \limits_{k=n+1}^{k n n} \frac{1}{n}=n \cdot \frac{1}{n}=1 \)
- Monotonie:
Wir betrachten für \( n \in \mathbb{N} \)
\( \begin{aligned} a_{n+1}-a_{n} &=\sum \limits_{k=n+2}^{2(n+1)} \frac{1}{k}-\sum \limits_{k=n+1}^{2 n} \frac{1}{k} \\ &=\frac{1}{2 n+1}+\frac{1}{2 n+2}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{2 n+1}-\frac{1}{2 n+2} \\ &>0 \end{aligned} \)
da \( \frac{1}{2 n+1}=\frac{1}{2 n+2} \quad \) Also ist \( a_{n+1}>a_{n} \). Das heifst, dass \( \left(a_{n}\right) \) monoton wächt.
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- Beschranktheit:
Ofenbar gilt für alle neN H Her gitt es mer \( 0<a_{n}=\sum \limits_{k=n+1}^{2 n} \frac{1}{k} \leqslant \sum \limits_{k=n+1}^{k n n} \frac{1}{n}=n \cdot \frac{1}{n}=1 \)
- Monotonie:
Wir betrachten für \( n \in \mathbb{N} \)
\( \begin{aligned} a_{n+1}-a_{n} &=\sum \limits_{k=n+2}^{2(n+1)} \frac{1}{k}-\sum \limits_{k=n+1}^{2 n} \frac{1}{k} \\ &=\frac{1}{2 n+1}+\frac{1}{2 n+2}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{2 n+1}-\frac{1}{2 n+2} \\ &>0 \end{aligned} \)
da \( \frac{1}{2 n+1}=\frac{1}{2 n+2} \quad \) Also ist \( a_{n+1}>a_{n} \). Das heifst, dass \( \left(a_{n}\right) \) monoton wächt.
