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Das hier könnte ein Rätsel werden.

Das Vektorfeld ist nicht gegeben.


B={(x,y,z)R31x2+y2+z24}B=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 1 \leq x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4\right\}


Berechne γBv,ndσ \int \limits_{\gamma B}\langle\vec{v}, \vec{n}\rangle d \sigma

divv=1+z \operatorname{div} \vec{v}=1+z

Satz von Gauß: Av,ndσ=Adivvd3x \quad \int \limits_{\partial_{A}}\langle\vec{v}, \vec{n}\rangle d \sigma=\int \limits_{A} \operatorname{div} \vec{v} d^{3} x


Bekannt:

VKugel=43πr3V_{\text {Kugel}}=\frac{4}{3} \pi r^{3}

Endergebnis =283π =\frac{28}{3} \pi


Vielleicht sind hier aber auch Angaben falsch und somit die Aufgabe nicht lösbar.

Ich hätte es über die rechte Seite vom Satz von Gauß probiert, also über ein Dreifachintegral. Dann müsste ich doch Kugelkoordinaten verwenden und die Funktionaldeterminante mit reinnehmen? Das habe ich probiert da ist bei mir nur Mist rausgekommen.
Habt ihr einen Ansatz?

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Aloha :)

In Kugelkoordinaten kannst du die Punktmenge BB wie folgt parametrisieren:r=(rsinϑcosφrsinϑsinφrcosϑ);r[1;2]  ;  φ[0;2π]  ;  ϑ[0;π]\vec r=\begin{pmatrix}r\sin\vartheta\cos\varphi\\r\sin\vartheta\sin\varphi\\r\cos\vartheta\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[1;2]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\;\vartheta\in[0;\pi]

Mit dem Gaußschen Satz (df=dV)(d\vec f=dV\vec\nabla) kannst du den Fluss des Vektorfeldes v\vec v durch die geschlossene Oberfläche von BB auf ein Volumenintegral zurückführen:Φ=Bvdf=Bdfv=B(dV)v=B(v)dV=B(1+z)dV\Phi=\oint\limits_{\partial B}\vec v\,d\vec f=\oint\limits_{\partial B}d\vec f\,\vec v=\int\limits_B(dV\,\vec\nabla)\,\vec v=\int\limits_B(\vec\nabla\,\vec v)\,dV=\int\limits_B(1+z)\,dV

Wir gehen zu den obigen Kugelkoordinaten über:ϕ=r=12  φ=02π  ϑ=0π(1+rcosϑ=z)r2sinϑdrdφdϑ=dV\phi=\int\limits_{r=1}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{\vartheta=0}^\pi(1+\underbrace{r\cos\vartheta}_{=z})\,\underbrace{r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta}_{=dV}ϕ=2πr=12  ϑ=0π(r2sinϑ+12r3sin(2ϑ))drdϑ=2πr=12[r2cosϑ14r3cos(2ϑ)]ϑ=0πdr\phantom{\phi}=2\pi\int\limits_{r=1}^2\;\int\limits_{\vartheta=0}^\pi\left(r^2\sin\vartheta+\frac12r^3\sin(2\vartheta)\right)\,dr\,d\vartheta=2\pi\int\limits_{r=1}^2\left[-r^2\cos\vartheta-\frac14r^3\cos(2\vartheta)\right]_{\vartheta=0}^{\pi}drϕ=2πr=12((r2r34)(r2r34))dr=2πr=122r2dr=4π3[r3]r=12=28π3\phantom\phi=2\pi\int\limits_{r=1}^2\left(\left(r^2-\frac{r^3}{4}\right)-\left(-r^2-\frac{r^3}{4}\right)\right)\,dr=2\pi\int\limits_{r=1}^22r^2\,dr=\frac{4\pi}{3}\left[r^3\right]_{r=1}^2=\frac{28\pi}{3}

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Supi, vielen Dank!
Noch eine kurze Frage, warum geht Theta nur bis pi und nicht bis 2pi?

θ\theta ist der Winkel, den der Ortsvektor r\vec r mit der zz-Achse einschließt. Wenn r\vec r parallel zur zz-Achse verläuft, ist θ=0\theta=0, wenn r\vec r antiparallel zur zz-Achse verläuft, ist θ=π\theta=\pi.

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Du kannst in Kugelkoordinaten rechnen oder kartesisch, zeig, was du gerechnet hast und warum "Mist" rauskommt.

Gruß lul

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