Satz von Gauß, Integral, Kugel

Question

Das hier könnte ein Rätsel werden.

Das Vektorfeld ist nicht gegeben.


$B=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 1 \leq x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4\right\}$


Berechne $\int \limits_{\gamma B}\langle\vec{v}, \vec{n}\rangle d \sigma$

$\operatorname{div} \vec{v}=1+z$

Satz von Gauß: $\quad \int \limits_{\partial_{A}}\langle\vec{v}, \vec{n}\rangle d \sigma=\int \limits_{A} \operatorname{div} \vec{v} d^{3} x$


Bekannt:

$V_{\text {Kugel}}=\frac{4}{3} \pi r^{3}$

Endergebnis $=\frac{28}{3} \pi$


Vielleicht sind hier aber auch Angaben falsch und somit die Aufgabe nicht lösbar.

Ich hätte es über die rechte Seite vom Satz von Gauß probiert, also über ein Dreifachintegral. Dann müsste ich doch Kugelkoordinaten verwenden und die Funktionaldeterminante mit reinnehmen? Das habe ich probiert da ist bei mir nur Mist rausgekommen.
Habt ihr einen Ansatz?

Answer 1

Aloha :)

In Kugelkoordinaten kannst du die Punktmenge $B$ wie folgt parametrisieren:$$\vec r=\begin{pmatrix}r\sin\vartheta\cos\varphi\\r\sin\vartheta\sin\varphi\\r\cos\vartheta\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[1;2]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\;\vartheta\in[0;\pi]$$

Mit dem Gaußschen Satz $(d\vec f=dV\vec\nabla)$ kannst du den Fluss des Vektorfeldes $\vec v$ durch die geschlossene Oberfläche von $B$ auf ein Volumenintegral zurückführen:$$\Phi=\oint\limits_{\partial B}\vec v\,d\vec f=\oint\limits_{\partial B}d\vec f\,\vec v=\int\limits_B(dV\,\vec\nabla)\,\vec v=\int\limits_B(\vec\nabla\,\vec v)\,dV=\int\limits_B(1+z)\,dV$$

Wir gehen zu den obigen Kugelkoordinaten über:$$\phi=\int\limits_{r=1}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{\vartheta=0}^\pi(1+\underbrace{r\cos\vartheta}_{=z})\,\underbrace{r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta}_{=dV}$$$$\phantom{\phi}=2\pi\int\limits_{r=1}^2\;\int\limits_{\vartheta=0}^\pi\left(r^2\sin\vartheta+\frac12r^3\sin(2\vartheta)\right)\,dr\,d\vartheta=2\pi\int\limits_{r=1}^2\left[-r^2\cos\vartheta-\frac14r^3\cos(2\vartheta)\right]_{\vartheta=0}^{\pi}dr$$$$\phantom\phi=2\pi\int\limits_{r=1}^2\left(\left(r^2-\frac{r^3}{4}\right)-\left(-r^2-\frac{r^3}{4}\right)\right)\,dr=2\pi\int\limits_{r=1}^22r^2\,dr=\frac{4\pi}{3}\left[r^3\right]_{r=1}^2=\frac{28\pi}{3}$$

Comments

Supi, vielen Dank!
Noch eine kurze Frage, warum geht Theta nur bis pi und nicht bis 2pi?

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$\theta$ ist der Winkel, den der Ortsvektor $\vec r$ mit der $z$-Achse einschließt. Wenn $\vec r$ parallel zur $z$-Achse verläuft, ist $\theta=0$, wenn $\vec r$ antiparallel zur $z$-Achse verläuft, ist $\theta=\pi$.

Answer 2

Du kannst in Kugelkoordinaten rechnen oder kartesisch, zeig, was du gerechnet hast und warum "Mist" rauskommt.

Gruß lul