Bestimmen Sie für alle k ∈ ℕ den Rang von (Aj)k für j=1,2,3 .

Question

Aufgabe:

Es sei $\mathbb{K}$ ein Körper und

$A_{1}:=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right) \in \mathbb{K}^{2 \times 2}, A_{2}:=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) \in \mathbb{K}^{2 \times 2}, A_{3}:=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right) \in \mathbb{K}^{2 \times 2}, B:=\left(\begin{array}{ll} \# & 5 \\ 4 & 3 \\ 2 & 1 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3 \times 2}$
a) Bestimmen Sie für alle $k \in \mathbb{N}$ den Rang von $\left(A_{j}\right)^{k}$ für $j=1,2,3$.
b) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von # den Rang von $B$.
c) Berechnen Sie den Rang von weiteren Matrizen.

Problem/Ansatz:

Wie löst man diese Aufgaben?

Answer 1

$A_1$ hat den Rang 1. Da $A^2 = A$ gilt, folgt $A^k = A$ Also gilt $\text{rang}(A^k) = 1$

$A_2$ hat den Rang 2. Wegen $A^2 = I_2$ folgt $A^k = I_2$ für gerade $k$ und $A^k = A$ für ungerade $k$ Also gilt $\text{rang} A^k = 2$

Wegen $A_3^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ gilt $\text{rang} A^k = 0$ für $k > 1$ und $\text{rang} A = 1$

$$\text{rang }B(x) = 2$$ weil der Rang von $B(x) \le 2$ sein muss und die letzten beiden Zeilen der Matrix linear unabhängig sind.