Masse einer einer kreisförmige Scheibe

Question

Aufgabe: Berechnen Sie die Masse von Bereich A. Der Bereich ist eine kreisförmige Scheibe mit Mittelpunkt M(1,0) und Radius r=1. Massendichtefunktion lautet: ρ(x,y)= x²+y²

Problem/Ansatz: Mein Ansatz lautet:

$\int\limits_{1}^{2} \int\limits_{0}^{2π} (r^2 * r) dφ dr$

und komme auf dem Ergebnis 15π/2 aber die Lösung lautet 3π/2. Kann Kann mir bitte jemand da weiterhelfen?

MfG

Answer 1

Aloha :)

Wir brauchen zuerst einen Ortsvektor, der die kreisförmige Scheibe abastet. Dazu bieten sich Polarkoordinaten an:$$\vec r=\binom{1}{0}+\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}=\binom{1+r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\quad;\quad r\in[0;1]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]$$

Mit Hilfe dieses Vektors schreiben wir die Massendichte in Abhängigkeit von $(r,\varphi)$:$$\rho(r,\varphi)=\rho(x(r;\varphi);y(r;\varphi))=\underbrace{(1+r\cos\varphi)^2}_{=x^2}+\underbrace{(r\sin\varphi)^2}_{=y^2}=1+2r\cos\varphi+r^2$$

Für das Flächenelement gilt $(df=dx\,dy=r\,dr\,d\varphi)$ und wir können das Integral für die Masse $M$ der Scheibe formulieren:$$M=\int\limits_{r=0}^1\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}(1+2r\cos\varphi+r^2)\,r\,dr\,d\varphi=\int\limits_{r=0}^1\left[\varphi+2r\sin\varphi+r^2\varphi\right]_{\varphi=0}^{2\pi} r \,dr$$$$\phantom M=\int\limits_{r=0}^1\left(2\pi+2\pi r^2\right)r\,dr=2\pi\int\limits_{r=0}^1\left(r+r^3\right)dr=2\pi\left[\frac{r^2}{2}+\frac{r^4}{4}\right]_{r=0}^1=2\pi\cdot\frac34=\frac{3\pi}{2}$$

Comments

Vielen Dank für Ihre Mühe, ich habe endlich verstanden, wie es geht :)

Answer 2

Du lässt den Radius von 1 bis 2 gehen?

Der Übergang zu Polarkoordinaten ist auch nicht so einfach, wenn der Mittelpunkt nicht im Ursprung liegt!