Zeigen Sie, dass T eine lineare Abbildung ist.

Question

Aufgabe: Sei T : R³   -> R₁ [x] , (a,b,c) -> (a-c)x + b + c

Zeigen Sie, dass T eine lineare Abbildung ist.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre jetzt f(u+v) = f(u) + f(v) zu zeigen indem ich f(v)= (a´-c´)x´ + b´ +c ´ nutze und dann wieder auf f(u+v) komme. Wäre das so korrekt? Müsste ich dann noch weiter f(λu) = λf(u) zeigen?

Comments

Ja zu allen Fragen. Das ist genau der richtige Ansatz.

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Kleine Korrektur: Bei f(v) muss es x heißen, x' macht keinen Sinn

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Super danke euch :-)

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Wir hatten einen langen und einen kurzen Lösungsweg kennengelernt, ich möchte unbedingt den kurzen benutzen. Ich zeige euch mal ein Beispiel damit ihr wisst woran ich mich orientiere: f ∶ R3 → R3
, f(x1, x2, x3) = (−x1 + 2x2 − 4x3, 2x2 + 3x3, x1 − 2x3) Lösung:

Text erkannt:

Hinweis. Alternativ lässt sich die Linearität von $f$ in Aufgabenteil 3. wie folgt zeigen. Schreiben wir
$f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad f\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -x_{1}+2 x_{2}-4 x_{3} \\ 2 x_{2}+3 x_{3} \\ x_{1}-2 x_{3} \end{array}\right),$
so gilt $f(x)=A x$ für alle $x \in \mathbb{R}^{3}$, wobei
$A=\left(\begin{array}{ccc} -1 & 2 & -4 \\ 0 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & -2 \end{array}\right)$
Dann ist $f$ nach Beispiel 23.2.6 linear nach Satz 23.1.7(i).

Text erkannt:

Hinweis. Alternativ lässt sich die Linearität von $f$ in Aufgabenteil 3. wie folgt zeigen. Schreiben wir
$f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad f\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -x_{1}+2 x_{2}-4 x_{3} \\ 2 x_{2}+3 x_{3} \\ x_{1}-2 x_{3} \end{array}\right),$
so gilt $f(x)=A x$ für alle $x \in \mathbb{R}^{3}$, wobei
$A=\left(\begin{array}{ccc} -1 & 2 & -4 \\ 0 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & -2 \end{array}\right)$
Dann ist $f$ nach Beispiel 23.2.6 linear nach Satz 23.1.7(i).

Das selbe Prinzip wollte ich nun auch hier anwenden. Meine Lösung:

f:R3 ->R1[x],

f
(a
b
c)
= (   (a-c)x+b+c  )
so gilt f(x)=Ax für alle x∈R3 wobei A=  (   x 1  -x+1   )
Damit ist f linear. Ich bin mir ziemlich unsicher mit dem A. Das x ist etwas verwirrend und es ist komisch das ich nur eine Spalte und Zeile habe. Bei dem Beispiel gab es ja 3 Gleichungen. Deswegen ist das trotzdem so korrekt oder wie muss ich in diesem Fall vorgehen?

Answer 1

Mein Ansatz wäre jetzt f(u+v) = f(u) + f(v) zu zeigen

Das ist richtig.

indem ich f(v)= (a´-c´)x´ + b´ +c ´ nutze

Das ist nicht richtig. x´ ist nicht die Variable in dem Polynomring.

Zeige stattdessen, dass

        $\begin{aligned}f(a+a',b+b',c+c') &= ((a+a') - (c+c'))x + (b+b') + (c+c')\\&= \dots\\& = ((a-c)x+b + c) +( (a'-c')x+b'+c')\\& = f(a,b,c) + f(a',b',c')\end{aligned}$

ist.

Müsste ich dann noch weiter f(λu) = λf(u) zeigen?

Ja

Comments

ich möchte unbedingt den kurzen benutzen.

Dann zeige, dass es sich um eine Matrix-Multiplikation handelt:$$(a,b,c)\to \begin{pmatrix}x\\1\\1-x \end{pmatrix}^T\cdot \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$$das ist alles!

So wie Du oben auch angefangen hast. Es ist kein Problem, dass A hier nur aus einer Zeile und drei Spalten besteht.

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Ich danke dir Vielmals! So ist es deutlich kürzer und einfacher meiner Meinung nach :-)