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44. In einer Urne befinden sich 12 Kugeln: 7 rote und 5 blaue. Von den roten Kugeln sind 4 gepunktet, die anderen einfarbig. Von den blauen Kugeln sind 3 gepunktet, die anderen einfarbig.

a) Ein Spieler zieht in einem ersten Versuch eine Kugel aus der Urne. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel zu ziehen, wenn man weiß, dass sie gepunktet ist?
b) Im zweiten Versuch zieht der Spieler zwei Kugeln mit einem Griff aus der Urne. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau eine rote Kugel zu ziehen, wenn man weiß, dass mindestens eine der beiden Kugeln gepunktet ist?


Problem/Ansatz:

… Bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabe. Ich weiß, wie man die Wahrscheinlichkeit ausrechnet, dass eine Kugel rot ist. Aber das mit 2 Eigenschaften, also rot und gepunktet bereitet mir noch Schwierigkeiten.

P(1 x r)=\(\frac{\begin{pmatrix} 7\\ 1\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5\\ 1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 12\\ 2\\\end{pmatrix}}\approx0,53\)

von

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Achtung in der Aufgabe steht nicht

"Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel zu ziehen."

sondern

"Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel zu ziehen, wenn man weiß, dass sie gepunktet ist?"

Es handelt sich hier also um eine bedingte Wahrscheinlichkeit. Die berechnet man über den Satz von Bayes

P(A | B) = P(A und B) / P(B)

Willst du es nochmal für a) probieren?

von 440 k 🚀

Macht es Sinn sich dazu eine Vierfeldertafel aufzuzeichnen?


blob.png


Wenn man es für die erste Aufgabe nicht bereits getan hat, sollte man sich spätestens für die zweite Aufgabe die Kugelarten mit Anzahlen aufschreiben.

4 x RG ; 3 x RU ;  3 x BG ; 2 x BU

Nenne jetzt die Menge, bei der mind. eine Kugel gepunktet ist und bestimme die Wahrscheinlichkeit.

Nenne dann die Menge, bei der genau eine Kugel rot UND mind. eine Kugel gepunktet ist.

Bestimme dann den Quotienten aus den beiden Wahrscheinlichkeiten.

Macht es Sinn sich dazu eine Vierfeldertafel aufzuzeichnen?

Bei einer Kugel könnte man das noch machen. Mit den zwei Kugeln nicht.

Benutze einfach den Satz von Bayes

P(A | B) = P(A und B) / P(B)

Damit habe ich es auch gemacht.

Finde, die Aufgabe ist auch bisschen komisch formuliert

rote Kugel zu ziehen, wenn man weiß, dass sie gepunktet ist

Meint man damit also eine rote und gepunktete Kugel?

Oder das man gepunktete Kugel spüren kann mit der Hand?

Ich ziehe eine Kugel und verrate dir das diese Kugel gepunktet ist. Und jetzt sollst du mir die Wahrscheinlichkeit nennen das meine gezogene Kugel rot ist.

Also da es 7 gepunktete Kugeln gibt habe ich wohl eine dieser 7 Kugeln gezogen. Da 4 der 7 gepunkteten Kugeln rot sind beträgt die Wahrscheinlichkeit also 4/7.

Das nennt sich bedingte Wahrscheinlichkeit.

Von mir aus kannst du auch mal eine Vierfeldertafel oder ein Baumdiagramm dazu machen, wenn es dir zum Verständnis hilft.

Also für Aufgabe a) hätte ich dann folgenden Quotienten:

blob.png

r = rot
p = Punkte

Ich habe das jetzt so verstanden, dass es 4 Arten von Kugeln gibt

rp = 4
rp = 3
gp = 3
gp = 2

und man muss bei a) einfach die Wahrscheinlichkeit für rp ausrechen. Fertig.

1/3 ist die Wahrscheinlichkeit eine rote, gepunktete Kugel zu ziehen.

Das ist keine bedingte Wahrscheinlichkeit.

rp = 4
rp = 3
gp = 3
gp = 2

Ich hatte das bereits weiter oben besser notiert

4 x RG ; 3 x RU ;  3 x BG ; 2 x BU

Du unterscheidest bitte in "Rot und Blau" und in "Gepunktet und Ungepunktet".

rp = 4 
rp = 3

kannst du so doch nicht unterscheiden.

Wäre diese Vierfeldertafel dann richtig?
blob.png

und wie rechnet man nun damit?

Ich ziehe eine Kugel und verrate dir das diese Kugel gepunktet ist. Und jetzt sollst du mir die Wahrscheinlichkeit nennen das meine gezogene Kugel rot ist.

achso

P(r | p) = P(r ∩ p) / P(p) = (4/12) / (7/12) = 4/7

oder auch direkt mit absoluten Häufigkeiten

P(r | p) = H(r ∩ p) / H(p) = 4 / 7

Vielen Dank probiere dann jetzt gleich mal Aufgabe b) zu lösen

Kann man bei Aufgabe b) auch eine Vier-Felder-Tafel verwenden?

Kann man bei Aufgabe b) auch eine Vier-Felder-Tafel verwenden?

Ja kann man auch. Verwende dabei auch die beiden genannten Ereignisse mit Ihren Gegenereignissen.

Allerdings musst du hier mehr auszählen, als wenn du nur den Satz von Bayes nimmst.

Muss man dann zwei Vier-Felder-Tafeln zeichnen?
weil man ja zweimal zieht, also

Einmal mit 12 Kugeln und einmal für 11 Kugel?

Nein. Du zeichnest es in eine Vierfeldertafel.


A: mind eine Kugel gepunktetnA
B: genau eine Kugel rot.........
nB.........

......12 * 11 = 132

Dann lieber so rechnen oder?
blob.png


A: Die Wahrscheinlichkeit, dass bei zwei gezogenen bepunkteten Kugel mindestens eine rote dabei ist, liegt bei etwa 86%.

Ist das mit der Klammer richtig geschrieben?
Oder muss da P(r \(\cap\) 2p) hin?

4 x RG ; 3 x RU ;  3 x BG ; 2 x BU

Achtung: Es geht um genau eine rote Kugel und nicht um mind. eine rote Kugel. Bitte immer genau lesen.

P(genau eine Kugel rot | Zwei gepunktete Kugeln) = 4/7

Du brauchst aber noch die Wahrscheinlichkeit das genau eine Kugel rot ist, wenn genau eine Kugel gepunktet ist.

Achsooo. Stimmt "genau eine rote Kugel"

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau eine rote Kugel zu ziehen, wenn man weiß, dass mindestens eine der beiden Kugeln gepunktet ist?


Ok jetzt muss ich wieder komplett umdenken...

Ok der Nenner bleibt ja gleich.

ich probiere es mal zu rechnen

b)

blob.png

A: Die Wahrscheinlichkeit, dass bei zwei gezogenen bepunkteten Kugel mindestens eine rote dabei ist, liegt bei etwa 71%.

Gibt man bei Wahrscheinlichkeiten noch Nachkommastellen an, oder ist das so in Ordnung?

P(genau eine Kugel rot | Zwei gepunktete Kugeln) = 4/7


Wie schreibt man das dann für b)

P(eine rote Kogel | von mindestens 1 gepunktete Kugel) = 0.71 ?

P(genau eine rote Kugel | mind. eine gepunktete Kugel)

Man sollte das "genau" schon dazu schreiben.

und man schreibt dort nur zwei Ereignisse hin und kein von.

Und ich komme auch auf etwas anderes als 0.71

Und ich komme auch auf etwas anderes als 0.71


Ja ich habe ja auch die Gegenwahrscheinlichkeit

P(keine rote Kugel | mind. eine gepunktete Kugel) berechnet

und das dann von 1 subtrahiert.

Du hast wahrscheinlich, die Zähler multipliziert.

Ja ich habe ja auch die Gegenwahrscheinlichkeit

P(keine rote Kugel | mind. eine gepunktete Kugel) berechnet

Nö. Hast du nicht. Es geht um "mind. eine gepunktete Kugel" und nicht um "zwei gepunktete Kugel".

Genaues Lesen ist absolut notwendig in der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Und der Term

blob.png

ist so auch nicht ganz korrekt.

Und der Term [...] ist so auch nicht ganz korrekt.

Unten im Zähler steht 7 über 2, weil es insgesamt 7 bepunktete Kugeln gibt und 2 gezogen werden.

Oben im Nenner steht 4 über 0, weil es von den 7 bepunkteten Kugeln 4 rote gibt, und die ich die Gegenwahrscheinlichkeit ausrechne wo keine (=0) von diesen Kugel von diesen Kugeln gezogen werden.

Dafür werden dann ja von den 3 blauen gepunkteten (3 über 2) 2 gezogen.

Eine andere Kombinationsmöglichkeit wo keine rote gezogen wird, ist wenn ....

Ok merke gerade dass die Summer der k in einer Multiplikation = k des Nenner ergeben muss


Dann ist also doch diese Gleichung richtig.

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Ok hab jetzt den richtigen Term gefunden

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A: Die Wahrscheinlichkeit, dass unter 2 gezogenen gepunkteten Kugeln genau 1 rote dabei ist, beträgt ungefähr \(\underline{\underline{57\%}}\).

In die Klammer muss dann aber noch:

P(1 x r \(\cap\) p) oder P(1 x r | p) ?

Die Wahrscheinlichkeit, dass unter 2 gezogenen gepunkteten Kugeln genau 1 rote dabei ist, beträgt ungefähr 57%.

Das sieht schon gut aus. Allerdings ging es nicht um 2 gepunktete Kugeln, sondern um mind. eine gepunktete Kugel.

Achja. Diese kleinen verflixten sprachlichen Abweichungen.

War die Methode die ich benutzt habe die hypergeometrische Verteilung?

Würde auch gerne noch lernen, wie man es ohne h V lösen könnte. Also wenn man nur sowas wie Baumdiagramm kennt.

R R R R B B B

Es soll genau eine Rote Kugel beim Ziehen von 2 Kugeln gezogen werden. Mit den Pfadregeln ergibt sich ähnlich der Binomialverteilung:

P(RB, BR) = 2 * 4/7 * 3/6 = 4/7

Ist das der schnellere Weg als die hypergeometrische Verteilung?
Und ist hypergeometrische Verteilung = Satz von Bayes?

Verstehe noch nicht ganz warum man

P(RB, BR) = 2 * 4/7 * 3/6 = 4/7

rechnet.


blob.png

Es gibt auch die Möglichkeit erst eine Blau zu ziehen und dann rot. also 3/7 * 4/6

Es gibt auch die Möglichkeit erst eine Blau zu ziehen und dann rot. also 3/7 * 4/6

Und jetzt frag dich mal wofür die 2 in der Formel srteht.

Oder muss ich unbedingt schreiben

P(RB, BR) = 4/7 * 3/6 + 3/7 * 4/6

4/7 * 3/6 + 3/7 * 4/6

Seit wann ist 4/7 * 3/6 dasselbe wie 3/7 * 4/6 ?

Seit wann ist 4/7 * 3/6 dasselbe wie 3/7 * 4/6 ?

Rechne beide Sachen doch mal aus

Gibt es dafür iwie ein Gesetz? Hab da noch nie was von gehört, dass wenn man die Zähler von 2 Brüchen vertauscht dabei dann das gleiche bei raus kommt.

Potenzgesetze, Wurzelgesetze, Logarithusgesetze, und jetzt gibt es auch noch sowas wie Multiplikationsgesetze?

Schon mal was vom Kommutativgesetz gehört?

a * b = b * a

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