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Aufgabe:

Berechnen sie die Koordinate X1 so, dass der Vektor AG die Länge 12 hat, wenn A ( 2/3/5) und G (x1/7/13) sind.




Problem/Ansatz:

A + G = 12? Aber ich weiß nicht wie ich das ausrechen soll

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Hallo,

die Länge eines Vektors berechnest du mit a=a12+a22+a32|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}

AG=(x248)\overrightarrow{AG}=\begin{pmatrix} x-2\\4\\8 \end{pmatrix}

Damit ist

(x2)2+80=12x1=6x2=10\sqrt{(x-2)^2+80}=12\\ \Rightarrow x_1=-6\quad x_2=10

Gruß, Silvia

Avatar von 40 k
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Aloha :)

Den Vektor von AA nach GG erhältst du, wenn du von AA zum Ursprung läufst, also den Vektor (a)(-\vec a) entlang gehst, und dann vom Ursprung aus zum Punkt GG gehst, als den Vektor g\vec g entlang.AG=ga=(x1713)(235)=(x1248)\overrightarrow{AG}=\vec g-\vec a=\begin{pmatrix}x_1\\7\\13\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\3\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1-2\\4\\8\end{pmatrix}

Um uns bei der Länge des Vektors das Wurzelzeichen zu sparen, rechnen wir mit dem Quadrat:122=!AG2=(x1248)2=(x12)2+42+82=(x12)2+80    12^2\stackrel!=\left\|\overrightarrow{AG}\right\|^2=\left\|\begin{pmatrix}x_1-2\\4\\8\end{pmatrix}\right\|^2=(x_1-2)^2+4^2+8^2=(x_1-2)^2+80\quad\implies(x12)2=12280=64    (x_1-2)^2=12^2-80=64\quad\impliesx12=±64=±8    x_1-2=\pm\sqrt{64}=\pm8\quad\impliesx1=6    x1=10x_1=-6\;\lor\;x_1=10

Es gibt also zwei mögliche Lösungen.

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