Lineare Abbildung - Bestimmen Sie L(v)

Question

Aufgabe:

\( A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right) \)

1. Sei \( v=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right) \)

Bestimmen Sie L(v)

2. Sei \( L: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \mathrm{~L}(\mathrm{x})=\mathrm{Ax} \).
Bestimmen Sie die Umkehrabbildung zu L.

3. Ist \( A \in O(3) \) ?

Problem/Ansatz:

Ich will nur wissen ob ich die richtige Idee/Ansatz habe, da ich meist Probleme habe mit Formulierungen...

1. einfach A und (v) multiplizieren? (7,7,8)
2. Hier bin ich mir nicht so sicher. Hier die Inverse von... A bestimmen? Oder eher das Ergebis von 1?
3. Hier A auf Orthogonal überprüfen durch Determinante oder Inverse * Transponierte?

Answer 1

Aloha :)

Bei der (1) musst du einfach die Matrix \(A\) mit dem Vektor \(\vec v\) multiplizieren. Dein Ergebnis \((7|7|8)^T\) ist korrekt.

Bei der (2) musst du die inverse Matrix zu \(A\) bestimmen und solltest dann rauskriegen:$$A^{-1}=\frac15\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & -2\\-4 & 2 & 3\\2 & -1 & 1\end{array}\right)$$

Bei der (3) musst du prüfen, ob \(A^{-1}=A^T\) bzw. \(AA^T=\mathbf 1\) ist, wass offenbar nicht der Fall ist.