Vektoren: Zeige, dass für den Schwerpunkt im Dreieck gilt: 0S = 1/3 (0A + 0B + 0C)

Question

Ich muss eine Präsentation mit der Aufgabe machen, sie vorrechnen und erklären. Jedoch finde ich das Thema "Teilverhältnisse" an sich recht kompliziert bzw. verstehe ich einiges nicht. Da die Präsentation gut sein soll und vor allem auch alles richtig sein soll, wäre ich sehr dankbar, wenn jemand die Aufgabe anschaulich und ausführlich mit Erläuterungen lösen würde.

Übung

a) S sei der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden des Dreiecks \( \mathrm{ABC} \). Zeigen Sie, dass \( \overrightarrow{\mathrm{OS}}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}) \) gilt.

b) Der Schwerpunkt des Dreiecks \( \mathrm{ABC} \) mit \( \mathrm{A}(4|9| 2), \mathrm{B}(15|18| 9) \) ist der Punkt \( \mathrm{S}(5|6| 3) \). Berechnen Sie die Koordinaten von \( C \).

Answer 1

Hi,

zwischen Schwerpunkt und Koordinaten des Dreiecks ABC besteht vektoriell betrachtet der Zusammenhang

$$\vec{S}=\frac{1}{3} ( \vec{A} + \vec{B} + \vec{C} ) \ ,$$

bzw. ausgeschrieben:

$$ \begin{pmatrix} S_x \\ S_y \\ S_z \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \left [ \begin{pmatrix} A_x \\ A_y \\ A_z \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} B_x \\ B_y \\ B_z \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} C_x \\ C_y \\ C_z \end{pmatrix} \right ] \ .$$

Setzt du in dieses Gleichungssystem deine Werte ein,

$$ \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \left [ \begin{pmatrix} 4 \\ 9 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 15 \\ 18 \\ 9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} C_x \\ C_y \\ C_z \end{pmatrix} \right ] \ ,$$

kannst du es nach gesuchten 3 Koordinaten von C auflösen. Wenn ich mich nicht verrechnet habe, ergibt sich C (-4,-9,-2).

Answer 2

Zu einer Präsentation ausbauen musst du Rechnung und Skizze allerdings selbst.

Ausserdem solltest du die wichtigsten Eigenschaften des Schwerpunktes, z.B. dass er die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2 : 1 teilt als Wiederholung der Klasse vorweg noch in Erinnerung rufen.

b) Gemäss a) gilt  

3* (5|6|3) = (4|9|2) + (15|18|9) + (x|y|z)

 

3* (5|6|3) - (4|9|2) - (15|18|9) = (x|y|z)

(15|18|9) - (4|9|2) - (15|18|9) = (x|y|z)

 - (4|9|2)  = (x|y|z)

(-4|-9|-2)  = (x|y|z)

C(-4,-9,-2)

Anmerkung: Vektoren sind fett geschrieben. Schreibe sie vertikal.