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Aufgabe:

Bildschirmfoto 2022-10-02 um 11.06.05.png

Text erkannt:

\( 4 \sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \)
\( 0 \cdot \sum \limits_{n=0}^{\infty} 1^{n}= \)



Problem/Ansatz:

Laut Lösungen soll die obere Reihe divergieren und die untere soll konvergieren. Ich verstehe jedoch nicht warum. Bei einer geometrischen Reihe ist doch wenn der Betrag von q kleiner 1 ist. Aber bei beiden ist q grĂ¶ĂŸergleich 1. Dann mĂŒssten doch auch beide Folgen divergieren. Oder liegt es daran, dass bei der unteren Reihe mit 0 multipliziert wird?

von

2 Antworten

+1 Daumen

Eine Reihe ist die Folge ihrer Partialsummen,
bei der unteren also die Folge \((s_n)_n\) mit \(s_n=0\cdot \sum_{k=0}^n 1^k=0\).
Die Aufgabe ist sehr spitzfindig. Sie soll wohl
dazu dienen, die Definition von Reihen zu verdeutlichen.

von 21 k

Das Multiplikationszeichen steht doch zwischen reellen Zahlen. In der zweiten Aufgabe ist der zweite "Faktor" aber keine reelle Zahl. Ohne vorherige Definitionserweiterung von " ‱ " ist deine Antwort fĂŒr mich unverstĂ€ndlich.

Wenn \((a_n)_n\) eine reelle Folge ist, dann ist fĂŒr eine

reelle Zahl \(c\) die Folge \(c\cdot(a_n)_n\) definitionsgemĂ€ĂŸ die

Folge \((ca_n)_n\)

Das ist irrelevant, denn hier geht es darum, ob   c·lim an   =  lim (c·an)    ist, obwohl lim an gar nicht existiert.

Sehe ich auch so.

Nein, darum geht es nicht.

Das Symbol \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n\) steht fĂŒr die Folge

der Partialsummen. WENN diese konvergiert, bezeichnet

es zusÀtzlich deren Wert (also den Limes).

Das Symbol \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n\)steht fĂŒr die Folge der Partialsummen

Gegenauffassung :  das Symbol steht fĂŒr ihren Grenzwert.

Und wie bezeichnet man dann die Reihe? Und was ist dann

ĂŒberhaupt eine Reihe?

Existiert also die Reihe \(\sum_{n=0}^{\infty} 1\) gar nicht ?

So wie hj2166 sieht es Wikipedia auch. Ist natĂŒrlich die

dollste Quelle.

@ e : Wenn du Recht hÀttest, wÀre die Lösung der zweiten Aufgabe die Folge 0,0,0,0,... aber nicht die Zahl 0.

Nein; denn die Folge 0,0,0,... konvergiert und in diesem Falle

steht das Symbol auch fĂŒr den Grenzwert.

Habt ihr ein anderes Wikipedia als ich ?

Und hier nochmal meine Frage:

existiert die Reihe \(\sum_{n=0}^{\infty} 1\) oder nicht?

Der Wikipedia-Artikel sagt es deutlich:

https://de.wikipedia.org/wiki/Reihe_(Mathematik)#Semantik

Das ist das VerstÀndnis der Summensymbolik

seit mindestens 100 Jahren (Knopp: Theorie und Anwendung der

unendlichen Reihen, 1921). Siehe z.B. auch Königsberger: Analysis 1: S. 57.

DarĂŒber gibt es keine zwei adĂ€quaten Meinungen.

Die richtige Deutung von \(\sum a_n\) ist natĂŒrlich kontextabhĂ€ngig.

Nun wird in der Aufgabe explizit von der

Reihe \(0\cdot \sum 1^n\) gesprochen und da die Folgen einen

\(\mathbb{R}\)-Vektorraum bilden, ist damit natĂŒrlicherweise

die Multiplikation des Vektors \((s_n)_n\) mit dem Skalar 0

gemeint.

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Die Reihen sind doch die Terme hinter dem Faktor

4 bzw. 0. Diese Reihen konvergieren m.E.

beide nicht.

von 265 k 🚀

Ja das dachte ich auch. In den Lösungen steht es aber anders

Die Reihen sind doch die Terme hinter dem Faktor

4 bzw. 0.

Das sehe ich nicht so. Siehe meine Antwort.

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