Hypothesentest Fehler 1. und 2. Art

Question

Aufgabe:

Es gibt zwei Würfel, einer ist fair, einer nicht. Der gezinkte Würfel hat eine Wrschk. 1/4 eine 6 zu würfeln, die anderen Zahlen 3/20. Ich bekomme einen Würfel und nehme an, dass es der faire Würfel ist und das möchte ich testen.
Ich werfe den Würfel 180 mal und wenn 39 Mal oder weniger eine 6 gewürfelt wird, halte ich an der Hypothese fest. Welchen Fehler (1. Art / 2. Art) begehe ich dabei?

Problem/Ansatz:

Muss ich hier jetzt einen Hypothesentest durchführen? Wenn ja, welches Signifikanzniveau muss ich nehmen?

Answer 1

Du hast bereits einen Hypothesentest inkl. Entscheidungsregel vorgegeben und sollst nur Fehler 1. Und 2. Art bestimmen. Das Signifikanzniveau ist dann der Fehler erster Art.

H0: p = 1/6 ; H1: p = 1/4

α-Fehler: Die Nullhypothese wird zu Unrecht abgelehnt.
α = P(X ≥ 40 | p = 1/6) = ∑ (x = 40 bis 180) ((180 über x)·(1/6)^x·(5/6)^(180 - x)) = 0.0321

β-Fehler: Die Nullhypothese wird zu Unrecht angenommen.
β = P(X ≤ 39 | p = 1/4) = ∑ (x = 0 bis 39) ((180 über x)·(1/4)^x·(3/4)^(180 - x)) = 0.1722

Comments

Das Signifikanzniveau ist dann der Fehler erster Art.

Das stimmt nicht.

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Okay, verstanden. Meine Frage nun: Wie rechne ich das Ganze ohne Taschenrechner?

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Ich habe gelernt: Das Signifikanzniveau ist als maximaler Fehler erster Art definiert.

Vermutlich sagst du, das stimmt nicht, weil ich deiner Meinung nach Null- und Alternativhypothese vertauscht habe.

Das würde stimmen, wenn man wirklich sicherstellen will, das der Würfel fair ist.

Allerdings spricht das Design des Testes mit einem Signifikanzniveau von 18% deutlich dagegen.

Das Design des Testes spricht dafür, dass man prüfen will, ob der Würfel gezinkt ist.

Dann wäre das Signifikanzniveau von 4% wohl angemessen.

Ich vermute auch das meine Sichtweise aus der originalgetreuen Aufgabenstellung besser hervor geht. Trotzdem kann auch ich mich irren, das aber nur wenn der Autor der Aufgabe von Testdesign nicht so viel versteht.

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Okay, verstanden. Meine Frage nun: Wie rechne ich das Ganze ohne Taschenrechner?

Du näherst die Binomialverteilung durch die Normalverteilung und benutzt die Tabelle der Standardnormalverteilung. Die restlichen Rechnungen sind Grundrechenarten und können auch ohne Taschenrechner durchgeführt werden.

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Ich habe gelernt: Das Signifikanzniveau ist als maximaler Fehler erster Art definiert.

Nein, das Signifikanzniveau ist die vorgegebene obere Schranke, die die Wahrscheinlichkeit, aufgrund des Testergebnisses einen Fehler erster Art zu machen, nicht überschreiten soll. Es gibt also einen Unterschied zwischen dem Signifikanzniveau und der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit für einen Fehler erster Art.

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Es gibt also einen Unterschied zwischen dem Signifikanzniveau und der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit für einen Fehler erster Art.

Das ist richtig. Habe ich auch so oben notiert gehabt. Wenn das Signifikanzniveau zu berechnen ist dann kann man hier aber den Fehler 1. Art angeben, weil man ansonsten den exakten Wert ja nicht ermitteln kann. Oder mit welchem Wert würdest du dann hier den Fehler 1. und 2. Art angeben?

Answer 2

Ich bekomme einen Würfel und nehme an, dass es der faire Würfel ist und das möchte ich testen.

Diese Annahme möchtest du durch den Hypothesentest stützen, also ist das deine 1-Hypothese. Deine 0-Hypothese, die aufgrund des Testergebnisses verworfen werden soll, lautet somit: "Der Würfel ist der gezinkte."

Die Wahl des Signifikanzniveas gehört zur Gestaltung des Tests, du kannst es selbst festlegen.

Die Fehler erster und zweiter Art ergeben sich aus der Festlegung der 0-Hypothese.

Comments

Also kann ich mir das Signifikanzniveau frei auswählen und überprüfen, ob ich die Hypothese verwerfe oder nicht? Dann überprüfe ich, ob \( \frac{39-30}{5} \) größer ist als das Quantil und verwerfe die Hypothese dann.