Zeigen, ob bzw. für welche alpha ∈ ℝ die folgenden uneigentlichen Integrale existieren

Question

Aufgabe:

Uneigentliche Integrale

Zeigen Sie, ob bzw. für welche $\alpha \in \mathbb{R}$ die folgenden uneigentlichen Integrale existieren? Sie müssen nicht den Wert des Integrals bestimmen.

(1) $\int \limits_{0}^{\infty} x^{\alpha} \sin (x) d x$

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht wie man daran gehen muss; ich habe jetzt schon ein bisschen rumprobiert, aber ohne Erfolg; Das einzige, was ich herausgefunden habe, ist, dass das Integral für alle Alpha nicht konvergiert. Kann mir irgendwer zeigen, wie man die Aufgabe Formal richtig löst? Vielen Dank schon mal im Voraus!

Answer 1

Du musst das Integral aufteilen in

$$\int_0^1 x^\alpha \sin(x) dx$$ und berücksichtigen, dass für $x \in [0;1]$ gilt $|\sin(x) | \le 1$

und $$\int_1^\infty x^\alpha \sin(x) dx$$

Das erste Integral kann man wie folgt abschätzen

$$\left| \int_0^1 x^\alpha \sin(x) dx \right| \le \int_0^1 x^{\alpha+1} dx = \frac{ x^{\alpha+2}} {\alpha+2} \bigg|_0^1$$

Das Integral konvergiert also nur für $\alpha +2 > 0$, also $\alpha > -2$

Für das Zweite Integral wende das Kriterium von Dirichlet für uneigentliche Integrale an, s. hier https://pnp.mathematik.uni-stuttgart.de/iadm/Weidl/analysis2/vorlesu…

Dann folgt mit $b(x) = \sin(x)$   und $a(x) = x^\alpha$, dass das Integral konvergiert, aber nur wenn $\alpha < 0$ gilt. Ansonsten ist $x^\alpha$ nicht monoton fallend. Und für $\alpha = 0$ konvergiert das zweite Integral nicht.

D.h. zusammengefasst, das Integral konvergiert für $-2 < \alpha < 0$

Comments

@ ullim: Genau genommen hast Du bei dem ersten Argument eine obere Abschätzung verwendet und aus dieser Abschätzung eine Bedingung an a hergeleitet. Damit ist a+2>0 doch eigentlich nur hinreichend, oder?

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Das ist richtig. Notwendig fehlt noch.

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Das Integral kann man mittels Mellin Transformation lösen, s. https://en.wikipedia.org/wiki/Mellin_transform

Es ergibt sich

$$\int_0^\infty x^{s-1} \sin(x) dx = \sin\left( \frac{\pi}{2}s \right) \Gamma(s)$$ für $-1 < \Re(s) < 1$

Mit $\alpha = s - 1 \in \mathbb{R}$ ergibt sich das Ergebnis.

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Es reicht aber auch, $\sin(x)$ für kleine x durch $0.5x$ nach unten abzuschätzen.