Berechne die Fläche die durch Graph von f und Achse x begrenzt ist:

Question

Aufgabe

Gegeben sei:

$f(x)=x^{3}+x^{2}-6 x$

Berechne die Fläche die durch Graph von f und Achse x begrenzt ist:

Problem/Ansatz:

Hilfe bei der Berechnung

Comments

Es geht um die grüne und um die blaue Fläche.

Answer 1

Aloha :)

Bei der Berechnung der Fläche zwischen der Funktion$$f(x)=x^3+x^2-6x=x(x^2+x-6)=x(x+3)(x-2)$$und der $x$-Achse müssen wir von einer Nullstelle zur nächsten integrieren und von jedem Integral den Betrag wählen, weil Integrale oberhalb der x-Achse postitiv sind und Integrale unterhalb der x-Achse negativ sind.

Die Nullstellen $(-3)$, $0$ und $2$ entnehmen wir der Linearfaktorzerlegung von oben:$$F=\left|\int\limits_{-3}^0f(x)\,dx\right|+\left|\int\limits_{0}^2f(x)\,dx\right|=\left|\left[\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-3x^2\right]_{-3}^0\right|+\left|\left[\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-3x^2\right]_0^2\right|$$$$\phantom F=\left|0-\frac{63}{4}\right|+\left|-\frac{16}{3}-0\right|=\frac{63}{4}+\frac{16}{3}=\frac{63\cdot3+16\cdot4}{12}=\frac{253}{12}$$

Answer 2

Bestimme die Nullstellen von $f$.

Bestimme die Integrale zwischen je zwei benachbarten Nullstellen.

Addiere die Beträge der Integrale.