0 Daumen
516 Aufrufe

Aufgabe:

Betrachten Sie für jeden Parameter tR t \in \mathbb{R} die Vektoren

v1,t : =(t,2t),v2,t : =(2t,t3),v3,t : =(t2,4t), v_{1, t}:=(t, 2 t), \quad v_{2, t}:=\left(2 t, t^{3}\right), \quad v_{3, t}:=\left(t^{2}, 4 t\right),

im R-Vektorraum R2 \mathbb{R}^{2} und die Untervektorräume

V1,t : =spanR(v1,t,v2,t) und V2,t : =spanR(v1,t,v2,t,v3,t) V_{1, t}:=\operatorname{span}_{\mathbb{R}}\left(v_{1, t}, v_{2, t}\right) \quad \text { und } \quad V_{2, t}:=\operatorname{span}_{\mathbb{R}}\left(v_{1, t}, v_{2, t}, v_{3, t}\right) \text {. }

Bestimmen Sie für jedes tR t \in \mathbb{R} die Dimensionen dimRV1,t \operatorname{dim}_{\mathbb{R}} V_{1, t} und dimRV2,t \operatorname{dim}_{\mathbb{R}} V_{2, t} . (Hinweis: Fallunterscheidungen.)


Problem/Ansatz:

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

dimRV1,t \operatorname{dim}_{\mathbb{R}} V_{1, t} = ?

v1,t : =(t,2t)=t(1,2)v2,t : =(2t,t3)v_{1, t}:=(t, 2 t)= t(1, 2) \quad v_{2, t}:=\left(2 t, t^{3}\right) =t(2;t^2) 

Also ist V1,t V_{1, t} für t≠0 der von (1,2) und (2;t^2) erzeugte Unterraum von R^2.

Für t2 = 4 sind die beiden linear abhängig, also die dim=1.

Für t=0 sind beide der 0-Vektor, also der erzeugte Raum

der 0-Raum mit dim=0.

Ansonsten dim=2.

Für den 2. Fall kommt für t≠0 noch (t,4) bei den Erzeugenden hinzu.

Das ist für t=4 kein Vielfaches von (1,2) also dann auch hier dim=2.

Avatar von 289 k 🚀

kannst du das etwas erklären, wie du darauf gekommen bist?

danke:)

(t, 2 t)= t(1, 2)  ist doch einfach nur die

Def. der s-Multiplikation.

Achso alles klar. Ich versuche dann V2,t zu machen.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage