Dimensionen von Untervektorräumen

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie für jeden Parameter \( t \in \mathbb{R} \) die Vektoren

\( v_{1, t}:=(t, 2 t), \quad v_{2, t}:=\left(2 t, t^{3}\right), \quad v_{3, t}:=\left(t^{2}, 4 t\right), \)

im R-Vektorraum \( \mathbb{R}^{2} \) und die Untervektorräume

\( V_{1, t}:=\operatorname{span}_{\mathbb{R}}\left(v_{1, t}, v_{2, t}\right) \quad \text { und } \quad V_{2, t}:=\operatorname{span}_{\mathbb{R}}\left(v_{1, t}, v_{2, t}, v_{3, t}\right) \text {. } \)

Bestimmen Sie für jedes \( t \in \mathbb{R} \) die Dimensionen \( \operatorname{dim}_{\mathbb{R}} V_{1, t} \) und \( \operatorname{dim}_{\mathbb{R}} V_{2, t} \). (Hinweis: Fallunterscheidungen.)

Problem/Ansatz:

Answer 1

\( \operatorname{dim}_{\mathbb{R}} V_{1, t} \) = ?

\(v_{1, t}:=(t, 2 t)= t(1, 2)  \quad v_{2, t}:=\left(2 t, t^{3}\right) \) =t(2;t^2) 

Also ist \( V_{1, t} \) für t≠0 der von (1,2) und (2;t^2) erzeugte Unterraum von R^2.

Für t^2 = 4 sind die beiden linear abhängig, also die dim=1.

Für t=0 sind beide der 0-Vektor, also der erzeugte Raum

der 0-Raum mit dim=0.

Ansonsten dim=2.

Für den 2. Fall kommt für t≠0 noch (t,4) bei den Erzeugenden hinzu.

Das ist für t=4 kein Vielfaches von (1,2) also dann auch hier dim=2.

Comments

kannst du das etwas erklären, wie du darauf gekommen bist?

danke:)

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(t, 2 t)= t(1, 2)  ist doch einfach nur die

Def. der s-Multiplikation.

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Achso alles klar. Ich versuche dann V_2,t zu machen.