Umformung von n^(log2n)?

Question

Wie kommt man von n^{^(log}₂ⁿ⁾ zu 2^^(log₂^{n)^2}

^{Komme mit dem Umformungsschritt nicht klar. Wenn es keine Lösungsvorschläge gibt, wäre ich auch über entsprechende Anregungen für Suchbegriffe dankbar. Ich denke es geht hier um einen Basiswechsel}

Answer 1

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

Wie kommt man von \( n^{\log_{2}(n)}\) zu \(2^{\log_{2}(n)^{2}}\)

ganz schön verwirrender Ausdruck ;-) Der Weg ist zuerst logarithmieren und dann wieder hoch 2:$$\begin{aligned} ? &= n^{\log_{2}(n)} &&|\, \log_2 \\ \log_2(?)&=\log_2\left(n^{\log_{2}(n)}\right) \\ \log_2(?)&=\log_2(n) \cdot \log_2(n) \\ \log_2(?)&=\log_2(n)^2 &&|\,2^\dots\\ ? &= 2^{\log_2(n)^2} \end{aligned}$$Frag' nach, wenn was unklar ist.

Gruß Werner

Comments

alternativ kann man anders an die Sache ran gehen.

Beides ist eine Potenz. Links steht \(n\) in der Basis und rechts die \(2\). Die Frage ist nun, wie kommt man von \(n\) zur \(2\) wieder als Potenz.

Man sucht also einen Exponenten \(x\) mit dem man \(2\) 'hoch nehmen' muss, damit \(n\) rauskommt. Also $$\begin{aligned} 2^x &= n &&|\, \log_2 \\\log_2\left(2^x\right) &= \log_2(n) \\ x \cdot \log_2(2) &= \log_2(n) \\ x &= \log_2(n)\end{aligned}$$was ja auch der Definition des Logarithmus entspricht! Daraus folgt also$$2^{\log_2(n)} = n$$Setze das in den ersten Term für \(n\) ein:$$\begin{aligned} &\phantom{=} n^{\log_2(n) }\\ &= \left(2^{\log_2(n)}\right)^{\log_2(n)} \\ &= 2^{\log_2(n)\cdot \log_2(n)} \\ &= 2^{\log_2(n)^2}\end{aligned}$$

Answer 2

Schreibe es dir umgekehrt auf. Ich denke dann geht dir ein Licht auf.

$$2^{log_2(n)^2} = 2^{log_2(n) \cdot log_2(n)} = (2^{log_2(n)})^{log_2(n)} = n^{log_2(n)}$$

Also auch

$$n^{log_2(n)} = (2^{log_2(n)})^{log_2(n)} = 2^{log_2(n) \cdot log_2(n)} = 2^{log_2(n)^2}$$