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Hallo :-)
hab ne Mathe Hausaufgabe auf, die ich nicht ganz verstehe, da ich nicht weiss, was komplanar bedeutet, villeicht kann mir ja jmd. helfen :)

Die Frage nach der Komplanarität bezieht sich auf folgende Vektoren:
 (1/2/-1) , (1/0/3) , 3/2/5) bzw. (1/2/-1) , (1/0/1) , (2/4/1)
Gefragt von
komplanar = linear abhängig

Kommst du jetzt allein klar?
und was muss ich jetzt tun, um das zu beweisen?

2 Antworten

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Drei Vektoren sind genau dann komplanar, wenn sie in derselben Ebene liegen (das ist die Bedeutung des Wortes "komplanar"). Das wiederum ist genau dann der Fall, wenn sie linear abhängig sind, wenn sich also ein beliebiger der drei Vektoren durch eine Linearkombination der beiden anderen darstellen lässt.

Beispiel 1:

Aus den drei Vektoren ergibt sich das Gleichungssystem:

1 = 1a + 3b

2 = 0a + 2b

-1 = 3a + 5b

Wenn dieses eine Lösung hat, dann sind die Vektoren komplanar.

Aus der zweiten Gleichung folgt:

b=1

Einsetzen in die erste Gleichung:

1 = 1a + 3*1
<=> a = - 2

Die Vektoren sind nun genau dann komplanar, wenn sich bei Einsetzen der Werte der Parameter a und b in die dritte Gleichung eine wahre Aussage ergibt, wenn also gilt:

-1 = 3 * ( - 2 ) + 5 * 1

<=> -1 = - 1

Das ist eine wahre Aussage, also sind die drei Vektoren komplanar.

Beantwortet von 32 k  –  ❤ Bedanken per Paypal
Vielen lieben Dank, hast mir wirklich weiter geholfen :) !
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Komplanar heißt, alle Vektoren liegen in einer Ebene und ziehen kein schiefen Quader auf. Das kannst du beweisen, indem du einfach das Volumen ausrechnest von diesem "nicht existierenden" schiefen Quader, welches dann ja logischerweise Volumen = 0 ist.

Ist dies so, sind die 3 Vektoren komplanar.

 

Das Spatprodukt (Volumen) berechnet man wie folgt:

(a x b) * c

Also brauchst du:

(a x b) * c = 0

Jetzt rechnest du die linke Seite aus (Zuerst das Vektorprodukt bilden, danach das Skalarprodukt mit c verrechnen) und dann erhältst du ein Skalar

Ist es ungleich, so ist diese Zahl gleich dem Volumen vom schiefen Quader, welcher von den 3 Vektoren aufgezogen wird!

Beispiel:

 

a =  (1/2/-1)

b = (1/0/3) 

c  = (3/2/5)

 

Jetzt einfach nur noch einsetzen und mit der Vektorrechnung das Volumen ermitteln.

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