Zeigen Sie, daß H eine Untergruppe von ℤ ist.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

2. Seien $a, b \in \mathbb{Z}$ gegeben. Betrachten Sie die Menge $H=\{m a+n b: m, n \in \mathbb{Z}\}$. Zeigen Sie, daß $H$ eine Untergruppe von $\mathbb{Z}$ ist.

Zusatzaufgabe: Untersuchen Sie anhand von Beispielen, etwa $a=5, b=7$ oder $a=6, b=8$, ob und wie die gegebene Gruppe einfacher geschrieben werden kann. Spekulieren Sie, was eine mögliche allgemeine Aussage sein könnte. (Die Antwort wird demnächst in der Vorlesung diskutiert.)

Problem/Ansatz:

Könnte sie bitte mir nur mit der Untergruppe helfen :((  Zusatzaufgabe brauche ich nicht. Danke!
Charakterisierung von Untergruppen scheint mir ganz unklar :'((((

Answer 1

Seien $a, b \in \mathbb{Z}$ gegeben. Betrachten Sie die Menge $H=\{m a+n b: m, n \in \mathbb{Z}\}$. Zeigen Sie, daß $H$ eine Untergruppe von $\mathbb{Z}$ ist.

Offenbar geht es um $(\mathbb{Z},+)$.

Da musst du nur ein Untergruppenkriterium prüfen.

Z.B. (siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Untergruppe#%C3%84quivalente_Definitio…)

Zu zwei beliebigen Elementen in {\displaystyle U}U ist auch deren Verknüpfung in {\displaystyle U}U, und mit jedem Element in {\displaystyle U}U auch dessen Inverses.

Also: Zwei beliebige Elemente aus H wären etwa ma+n b und pa+qb

Deren Verknüpfung (ma+n b) + (pa+qb)  =  (m+p)a + (n+q)b ist auch in H; denn mit

m,p aus Z ist auch m+p aus Z entsprechend auch n,q.

Das Inverse von ma+nb ist -(ma+nb) = (-m)a + (-n)b und mit m,n aus Z

sind auch -m und -n aus Z.  q.e.d.

Comments

Vielen Dank!!! Jetzt ist alles klar geworden, und eigentlich nicht so schwer :')

LG

Answer 2

Als Alternative will ich mal mit Kanonen auf Spatzen schießen:

$\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ ist mit komponentenweiser

Addition offensichtlich eine Gruppe und

$\varphi:\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z},\; \varphi(m,n)=ma+nb$

ist ein Gruppenhomorphismus. Das homomorphe Bild einer Gruppe ist

eine Untergruppe der Zielgruppe.