Aloha :)
Zur Betrachtung des Monotonieverhaltens der Folge, schreiben wir sie mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes um:$$a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}1^{n-k}\cdot\left(\frac{1}{n}\right)^k=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{1}{n^k}$$$$\phantom{a_n}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{n\cdot(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!\cdot n^k}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\cdot\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-2}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n}$$
Bei allen Brüchen, die als Faktoren auftauchen ist der Zähler kleiner gleich dem Nenner. Für zwei beliebige positive Zahlen mit \(a\le b\) gilt jedoch:$$a\le b\implies ab+a\le ab+b\implies a(b+1)\le b(a+1)\implies\frac{a}{b}\le\frac{a+1}{b+1}$$
Außer bei \(\frac{1}{k!}\) erhöhen wir nun in allen Brüchen den Zähler und den Nener um \(1\) und erhalten dadurch folgende Abschätzung:$$a_n\le\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\cdot\frac{\green{n+1}}{\red{n+1}}\cdot\frac{\green{n}}{\red{n+1}}\cdot\frac{\green{n-1}}{\red{n+1}}\cdots\frac{\green{n+1-k+1}}{\red{n+1}}$$$$\phantom{a_n}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\cdot\frac{\green{(n+1)!}}{\green{(n-k+1)!}\,\red{(n+1)^k}}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{(n+1)!}{k!\,(n-k+1)!}\,\frac{1}{(n+1)^k}$$$$\phantom{a_n}=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n+1}{k}\frac{1}{(n+1)^k}\pink<\sum\limits_{k=0}^{n\pink{+1}}\binom{n+1}{k}\frac{1}{(n+1)^k}$$$$\phantom{a_n}=\sum\limits_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}\,1^{(n+1)-k}\left(\frac{1}{n+1}\right)^k=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}=a_{n+1}$$
Die Folge \((a_n)\) ist also (streng) monoton wachsend.
