Aufgabe zu Maximum und Supremum

Question

Aufgabe:

Aufgabe zu Maximum und Supremum

(i) Zeige, dass das Maximum (falls existent) einer Menge reeller Zahlen eindeutig bestimmt ist.

(ii) Zeige, dass (las Supremum (falls existent) einer Menge reeller Zahlen eindeutig bestimmt ist.

Problem/Ansatz:

Hat einer eine Idee wie man mit dieser Aufgabe umgehen muss? Ich habe leider keinen Ansatz, und komme nicht weiter. :(

Answer 1

Zeige, dass das Maximum (falls existent) einer Menge reeller Zahlen eindeutig bestimmt ist.

Sei A eine Menge reeller Zahlen, die ein Maximum m besitzt.

Dann gilt für alle x∈A      x≤m .  #

Sei n auch ein Maximum von A, dann gilt für alle x∈A     x≤n .##

Da m∈A und n∈A , gilt wegen ##   m≤n und wegen #   n≤m,

  also m=n.             q.e.d.

Analog der andere Teil: sup(M) ist die kleinste obere Schranke von M.

Comments

Danke dir, habe noch eine Frage zu n=m. Sind n und m das selbe Maximum oder stehen sie in Gleichheit bezüglich dessen das sie beide ein Maximum sind ?

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Zwei Elemente in der Gleichheitsrelation stehen

können auch beide als dasselbe bezeichnet werden.

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Wärst du so nett das doch nochmal einmal für sup(M) zu machen?

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Das geht analog:

Sei A eine Menge reeller Zahlen, die ein minimum i besitzt.

Dann gilt für alle x∈A     x≥i. #

Sei n auch ein minimum von A, dann gilt für alle x∈A   x≥n  .##

Da i∈A und n∈A , gilt wegen ##  i≥n und wegen #  n≥i,

also m=n.           q.e.d.