Kern und Bild von Linearer Abbildung

Question

Aufgabe:Sei f: V->W $$ durch f \begin{pmatrix} x & y \\ 0 & z \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} x+y & z \\ z & x+y \end{pmatrix} $$

Problem/Ansatz:Gesucht Basis von Kern und Bild von f, also ich habe da Bild=  (1,0,0,1) und (0,1,1,0) Kern = (0,-1,1,0) und (1,0,0,-1)

Ist das richtig ?

Answer 1

\(durch f \begin{pmatrix} x & y \\ 0 & z \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} x+y & z \\ z & x+y \end{pmatrix} \)

Für \(  \begin{pmatrix} x & y \\ 0 & z \end{pmatrix}  \) aus dem Kern muss gelten

\(   \begin{pmatrix} x+y & z \\ z & x+y \end{pmatrix} =   \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \)

also z=0 und x+y=0  bzw z=0 und y=-x, also sehen die alle so aus

\(  \begin{pmatrix} x & -x \\ 0 & 0 \end{pmatrix}  = x \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}   \)

also ist die Menge mit dem Element \(  \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}  \) eine Basis des Kerns.

Und die Elemente des Bildes sind alle von der Form

 \(  \begin{pmatrix} x+y & z \\ z & x+y \end{pmatrix} =  (x+y)\begin{pmatrix} 1& 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} +z \begin{pmatrix} 0& 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)

Also ist \(  (  \begin{pmatrix} 1& 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0& 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} ) \)

eine Basis des Bildes.

Comments

Oki danke :-)