Äquivalenz zeigen mit Rechengesetzen

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für alle aussagenlogischen Ausdrücke A, B, C die Ausdrücke
(¬A ∨ B) ∧ (B ⇒ (¬C ∧ ¬A)) und ¬A ∧ ¬(B ∧ C)

Problem/Ansatz:

Kann mir eine dabei helfen mit den nötigen Rechengesetzen.

Answer 1

(¬A ∨ B) ∧ (B ⇒ (¬C ∧ ¬A))  Verwende X==> Y =  ¬X ∨ Y

= (¬A ∨ B) ∧ (¬B ∨ (¬C ∧ ¬A))   distributiv

= (¬A ∨ B) ∧ (¬B ∨ ¬C)  ∧  (¬B ∨¬A) kommutativ

= (¬A ∨ B)  ∧  (¬B ∨¬A) ∧ (¬B ∨ ¬C) distributiv

=     ¬A   ∧  ( B ∨¬B) ∧ (¬B ∨ ¬C)

=    ¬A ∧  1 ∧ (¬B ∨ ¬C)

=    ¬A  ∧ (¬B ∨ ¬C) de Morgan

=    ¬A ∧ ¬(B ∧C)           q.e.d.

Comments

Muss das nicht beim Distributiv das so sein:

\( =(\neg A \vee B) \wedge(\neg B \vee \neg A) \wedge(\neg B \vee \neg C) \) distributiv
\( =\neg A \vee(B \wedge \neg B) \wedge(\neg B \vee \neg C) \)
\( =\neg A \vee 1 \wedge(\neg B \vee \neg C) \)
\( =\neg A \wedge(\neg B \vee \neg C) \) de Morgan
\( =\neg A \wedge \neg(B \wedge C) \quad \) q.e.d.

Ich weiß nicht ob das mit der vor letzen Zeile stimmt