Integral periodische Funktion

Question

Aufgabe:

Beim Lösen einer Aufgabe habe ich Schwierigkeiten beim Zeigen, dass das Integral (-2sin(2x)*cos(x)+sin(x)*cos(2x))/ (cos(x)² +cos(2x)²) mit den Grenzen 0 und 2π gleich 0 ist. Wenn man die Funktion, die integriert wird, zeichnen lässt, sieht man schnell, dass die Funktion periodisch ist und von (0,π) unterhalb der Achse, von (π,2π) oberhalb verläuft mit dem gleichen eingeschlossenen Flächeninhalt. Kann ich die Funktion vielleicht noch klug vereinfachen?

Danke fürs Helfen!

\( \frac{a}{b} \)

Answer 1

Man kann zeigen, dass die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung (Eigenschaften von Sinus und Kosinus ausnutzen) ist. Des Weiteren ist die Funktion offensichtlich \(2\pi\)-periodisch, weshalb man dann auch über das Intervall \([-\pi;\pi]\) integrieren kann. Aufgrund der Punktsymmetrie folgt dann, dass das Integral 0 ist.