Hallo,
addiere und subtrahiere die Gleichungen derart, dass außer drei \(1\)'en auf der linken Seite nur noch \(0\)'en stehen bleiben. Ich schreibe im Folgenden nur noch die Koeffizienten hin:$$\begin{array}{ccc|c} 1 & 1& a & 1\\ 1 & -a& 1& 1\\ a& 1& 1& 1 \end{array}$$Subtrahiere die erste Gleichung von der zweiten und das \(a\)-fache der ersten Gleichung von der dritten, mit dem Ziel, dass in der ersten Spalte zwei \(0\)'en erscheinen:$$\begin{array}{ccc|c} 1 & 1& a& 1 \\ 0 & -(a+1)& -(a-1)& 0\\ 0& -(a-1)& -(a^2-1)& -(a-1) \end{array}$$Die letzte Zeile kann man nun durch \(-(a-1)\) dividieren, aber natürlich nur dann, wenn \(a\ne 1\). Den Fall \(a=1\) betrachten wir später$$\begin{array}{ccc|c} 1 & 1& a& 1 \\ 0 & -(a+1)& -(a-1)& 0\\ 0& 1& a+1& 1 \end{array}$$Jetzt die letzte Gleichung von der ersten abziehen und das \((a+1)\)-fache der dritten Gleichung zur zweiten addieren$$\begin{array}{ccc|c} 1 & 0& -1& 0 \\ 0 & 0& a^2+a+2& a+1\\ 0& 1& a+1& 1 \end{array}$$Da der Term \(a^2+a+2\) für jedes \(a \in \mathbb R\) größer \(0\) ist, kann man die zweite Zeile dadurch dividieren:$$\begin{array}{ccc|c} 1 & 0& -1& 0 \\ 0 & 0& 1& \frac{a+1}{a^2+a+2}\\ 0& 1& a+1& 1 \end{array}$$Womit bereits die Lösung für \(x_3\) abfällt:$$x_3=\frac{a+1}{a^2+a+2}$$Jetzt noch die zweite zur ersten addieren und das \((a+1)\)-fache von der dritten abziehen$$\begin{array}{ccc|c} 1 & 0& 0& \frac{a+1}{a^2+a+2} \\ 0 & 0& 1& \frac{a+1}{a^2+a+2}\\ 0& 1& 0& 1 -\frac{(a+1)^2}{a^2+a+2}\end{array}\\ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0& 0& \frac{a+1}{a^2+a+2} \\ 0 & 0& 1& \frac{a+1}{a^2+a+2}\\ 0& 1& 0& \frac{1-a}{a^2+a+2}\end{array}$$und somit ist$$x_1=x_3 = \frac{a+1}{a^2+a+2}, \quad x_2 = \frac{1-a}{a^2+a+2}$$Zum Fall \(a=1\): in diesem Fall ist die dritte Zeile immer erfüllt, da alle Koeffizienten zu \(0\) werden. Setzt man \(a=1\) in die ersten beiden Gleichungen ein, muss \(x_2=0\) sein und \(x_1+x_2=1\). Die Lösungsmenge ist in diesem Fall$$a=1: \quad \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\ 0\\ -1 \end{pmatrix} \quad t \in \mathbb R$$Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.
Gruß Werner
