limn→∞∫0n(1−xn)ne−2x dx\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int \limits_{0}^{n}\left(1-\frac{x}{n}\right)^{n} e^{-2 x} \mathrm{~d} x n→∞lim0∫n(1−nx)ne−2x dx
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Sei hn(x)=(1−xn)nexh_n(x)=\left(1-\frac xn\right)^n\mathrm e^xhn(x)=(1−nx)nex. Nach meinen Berechnungen gilt 0<hn(x)<10<h_n(x)<10<hn(x)<1 für alle x∈(0,n)x\in(0,n)x∈(0,n) und damit∫0n(1−xn)3ndx<∫0n(1−xn)ne−2x dx<∫0ne−3x dx,\int_0^n\left(1-\frac xn\right)^{3n}\mathrm dx<\int_0^n\left(1-\frac xn\right)^n\mathrm e^{-2x}\,\mathrm dx<\int_0^n\mathrm e^{-3x}\,\mathrm dx,∫0n(1−nx)3ndx<∫0n(1−nx)ne−2xdx<∫0ne−3xdx,n3n+1<∫0n(1−xn)ne−2x dx<1−e−3n3.\frac n{3n+1}<\int_0^n\left(1-\frac xn\right)^n\mathrm e^{-2x}\,\mathrm dx<\frac{1-\mathrm e^{-3n}}3.3n+1n<∫0n(1−nx)ne−2xdx<31−e−3n.Nun das Sandwichlemma anwenden.
Der Grenzwert von(1−xn)n (1-\frac{x}{n})^n (1−nx)n für n gegen unendlich ist e−xe^{-x}e−x.
Eigentlich müsste man dann nur das Integral von 0 bis unendlich für die Funktion e^-3x rechnen, oder?
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