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limn0n(1xn)ne2x dx\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int \limits_{0}^{n}\left(1-\frac{x}{n}\right)^{n} e^{-2 x} \mathrm{~d} x

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Sei hn(x)=(1xn)nexh_n(x)=\left(1-\frac xn\right)^n\mathrm e^x. Nach meinen Berechnungen gilt 0<hn(x)<10<h_n(x)<1 für alle x(0,n)x\in(0,n) und damit0n(1xn)3ndx<0n(1xn)ne2xdx<0ne3xdx,\int_0^n\left(1-\frac xn\right)^{3n}\mathrm dx<\int_0^n\left(1-\frac xn\right)^n\mathrm e^{-2x}\,\mathrm dx<\int_0^n\mathrm e^{-3x}\,\mathrm dx,n3n+1<0n(1xn)ne2xdx<1e3n3.\frac n{3n+1}<\int_0^n\left(1-\frac xn\right)^n\mathrm e^{-2x}\,\mathrm dx<\frac{1-\mathrm e^{-3n}}3.Nun das Sandwichlemma anwenden.

1 Antwort

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Der Grenzwert von(1xn)n (1-\frac{x}{n})^n für n gegen unendlich ist exe^{-x}.

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Eigentlich müsste man dann nur das Integral von 0 bis unendlich für die Funktion e^-3x rechnen, oder?

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