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Berechnen sie den Schwerpunkt des Flächenstücks zwischen den Kurven

$$ y = 1 - ( x - 1 ) ^ { 2 } $$

und

$$ y = - \sqrt { 1 - ( x - 1 ) ^ { 2 } } $$

der Flächeninhalt beträgt 2,9.


Wie fange ich da an? Die beiden Funktionen gleichsetzen und dann nach 0 auflösen? Dann kommt aber ein x^4 heraus!

von

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Ich zeichne mal die Fumnktion:

Aus Symmetriegründen befindet sich der Schwerpunkt schon mal auf einer Geraden durch x = 1.

Eine direkte Formel zur Bestimmung des Schwerpunktes finden wir unter:

http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrischer_Schwerpunkt

Mit der Formel aus Wikipedia

ys = ∫ von a bis b über (f(x))^2 - (g(x))^2 dx / ∫ a bis b über 2*(f(x) - g(x)) dx

und

f(x) = 1 - (x - 1)^2
g(x) = - √(1 - (x - 1)^2)

errechne ich den Schwerpunkt wie folgt:

ys = ∫ von 0 bis 2 (1 - (x - 1)^2)^2 - (- √(1 - (x - 1)^2))^2 dx / ∫ von 0 bis 2 (2·(1 - (x - 1)^2 - - √(1 - (x - 1)^2))) dx

ys = - 4/15 / (3·pi + 8)/3 = - 4/(5·(3·pi + 8)) = -0.04591163237

Damit würde sich der Schwerpunkt etwas unterhalb der x-Achse befinden bei S(1 | -0.04591163237).

von 299 k

Hm, im Papula heisst die Formel für die Berechnung des Schwerpunktes aber:

$$ \frac { 1 } { A } \int _ { a } ^ { b } \int _ { f u } ^ { f o } y \; dy \; dx $$

Wie setze ich das dann ein. Muss ich erst die Funktionen nach Y umstellen?

Oder wie geht das?

Ja. Hier müsste die Umkehrfunktion gebildet werden. Das kann man aber umgehen. Schau mal auf das Beispiel:

http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrischer_Schwerpunkt#Fl.C3.A4chenschwerpunkt_einer_Parabel

Man würde sich hier zu Nutze machen das sich der Schwerpunkt der beliebig kleinen Flächenstreifen  zwischen f(x) und g(x) berechnen lässt aus: (f(x) + (g(x))/2 dieses muss ich noch gewichten mit der Länge des Streifens. Die Länge des Streifens lässt sich berechnen aus f(x) - g(x).

Also wie in der Physik. Kraft * Kraftarm.

Das heißt wir könnten rechnen:

(f(x) + (g(x))/2 * (f(x) - g(x)) = (f(x)^2 - g(x)^2)/2

Damit umgeht man dann das Umformen zur Umkehrfunktion und es lässt sich sehr viel einfacher berechnen.
Danke, ich habe deine Formel auch im Papula gefunden und auch das richtige Ergebnis heraus bekommen!
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Du fragst nach einem Anfang: Nicht nach der Formel zur Berechnung des Schwerpunktes (die findest du bestimmt in deinen Unterlagen): 

Du kannst erst mal die beiden Funktionen gleichsetzen, quadrieren, (1-x)^2 = u substituieren. Und eine quadr. Glg. für u lösen. Raus kommt, dass beide Funktionen dieselben Nullstellen haben: x1 = 0 und x2 = 2. 

Vgl. Abbildung:

 

Aus Symmetriegründen ist die x-Koordinate des Schwerpunktes 1. Um die y-Koordinate zu bestimmen, integrierst du die (horizontalen Scheiben * Hebel) geschickt in y - Richtung: vgl. mit Unterlagen.

von 153 k

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