Zeige, dass jedes Element des Quotientenkörpers Quot(R) in der Form x + y√d ∈ ℚ geschrieben werden kann.

Question

Aufgabe:

Es sei d ∈ ℤ kein Quadrat und sei R = ℤ [√d ] = {a + b√d | a,b ∈ ℤ }. Zeige, dass jedes Element des Quotientenkörpers Quot(R) in der Form x + y√d ∈ ℚ geschrieben werden kann.

Ich bin über jede Idee und jeden Hinweis dankbar :)

Answer 1

Hauptproblem ist ja wohl das Bilden der multiplikativen Inversen,

also dass (a + b√d)^(-1) für a und b nicht beide  0 wieder

als x + y√d ∈ ℚ geschrieben werden kann.

Betrachte dazu \(  \frac{1}{a + b\sqrt{d}}   \) erweitert mit a - b√d (ungleich 0 wegen a und b nicht beide 0)

\( =  \frac{a - b\sqrt{d}}{(a + b\sqrt{d})(a - b\sqrt{d})} =  \frac{a - b\sqrt{d}}{a^2 - b^2 d} =  \frac{a}{a^2 - b^2 d} -   \frac{ b\sqrt{d}}{a^2 - b^2 d} =  \frac{a}{a^2 - b^2 d} - \frac{ b}{a^2 - b^2 d} \sqrt{d} \)

Comments

Danke schon einmal, aber was muss ich denn dann noch zeigen? Für welche Elemente muss ich noch zeigen, dass sie in dieser Form in der Menge liegen?