Zeigen, dass differenzierbar

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die Funktion

$f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R},(x, y) \mapsto\left\{\begin{array}{cl} \left(x^{2}+y^{2}\right) \cos \left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right), & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0) . \end{array}\right.$

i) Zeigen Sie, dass $f$ partiell differenzierbar auf $\mathbb{R}^{2}$ ist, und berechnen Sie den Gradienten von $f$.

ii) Führen Sie einen detaillierten Beweis, dass $f$ stetig differenzierbar auf $\mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\}$, aber nicht auf $\mathbb{R}^{2}$ ist.

iii) Zeigen Sie, dass $f$ total differenzierbar auf $\mathbb{R}^{2}$ ist.

Problem/Ansatz:

Comments

Für Punkte außerhalb des Nullpunkts lassen sich die partiellen Ableitungen mit Hilfe der Ableitungsegeln standardmäßig berechnen. Das kannst Du doch sicher...