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Ich suche einen funktionierenden Schritt für Schritt Rechenweg, mit dem ich jeden beliebigen Logarithmus lösen kann, wie es vergleichbar für Wurzeln (je nachdem ob es eine 2.3.4. oder höhere Wurzel ist ist der verschieden) einen gibt. Gibt es einen wenn ja wie geht er?


Also beispielsweise

Log von 22 222 zur Basis 8

Wie rechne ich diese Aufgabe schritt für schritt bis zur letzen Kommastelle aus (schriftlich ohne Taschenrechner)?


Kann mir da jemand weiterhelfen? Bitte nur wenn möglich vollständige Rechenwege, in der jeder einzelne Schritt angegeben ist.

von

Das Problem dürfte beim "bis zur letzen Kommastelle" liegen. Klar kann man von Hand Wurzeln ziehen, aber auch das nicht immer bis zur letzten Stelle.

Im Kopf kannst du nur die 4 ohne die Nachkommastellen herausbekommen.

8^4=2^12=4096<22222

8^5=4096•8>22222

Wegen der Taylorreihen dass wäre möglicherweise ein Ansatz jedoch suchte ich eigentlich ein Rechenprinzip dass kein Rückgriff auf andere ausgerechnet Funktionen beinhaltet sondern ein Prinzip das alleine ausreichend ist um die Aufgaben zu lösen.

Doch Wurzeln kann man bis zu einer belieben Stelle ausrechnen, der Rechenaufwand wird Natürlich entsprechend größer.

Bis zu einer beliebigen Stelle ja, aber nicht bis zur letzten.

Doch nur nicht in allen Fällen (in den Fällen mit einer unbegrenzten Anzahl an Nachkommastellen nicht, es sei den es gibt periodische Elemente, in allen anderen Fällen ja)

Du hast ausdrücklich gefragt nach "jeden beliebigen Logarithmus lösen".

3 Antworten

+2 Daumen

Hallo,

Ja - Du kannst einen 'beliebigen' Logarithmus zumindest näherungsweise schriftlich berechnen. Allerdings nicht so wie bei einer Division von Zahlen, wo es mit jedem Schritt eine Dezimalstelle genauer wird.

Um \(\log_8(22222)\) zu berechnen gilt es zuächst mal durch fortwährende Division durch \(8\) die Zahl auf einen Bereich von \([1\dots 8)\) zu 'drücken'. Es ist $$22222 \approx 8^4 \cdot 5,425 \\\implies \log_8(22222) \approx \log_8\left(8^4 \cdot 5,425\right) = 4 + \log_8(5,425)$$Alle Zahlen, die jetzt kommen sind gerundet. Wie man die Genauigkeit erhöht, wirst Du gleich sehen. Man stellt sich dazu eine Tabelle auf, indem man eine Zahl wählt, die geringfügig größer ist als \(1\). Ich wähle \(1,1\) und die multipliziert man immer wieder mit \(1,1\) bis man den Wert der Basis (hier 8) erreicht$$\begin{array}{rrr}\text{Exp.}& x& \log_8(x)\\\hline 0& 1& 0\\ 1& 1.1& 0.0458\\ 2& 1.21& 0.0917\\ 3& 1.331& 0.1375\\ 4& 1.464& 0.1834\\ 5& 1.611& 0.2292\\ 6& 1.772& 0.2751\\ 7& 1.949& 0.3209\\ 8& 2.144& 0.3668\\ 9& 2.358& 0.4126\\ 10& 2.594& 0.4585\\ 11& 2.853& 0.5043\\ 12& 3.138& 0.5502\\ 13& 3.452& 0.5960\\ 14& 3.797& 0.6419\\ 15& 4.177& 0.6877\\ 16& 4.595& 0.7336\\ 17& 5.054& 0.7794\\ 18& 5.560& 0.8253\\ 19& 6.116& 0.8711\\ 20& 6.727& 0.9170\\ 21& 7.400& 0.9628\\ 22& 8.140& 1.0087\\ 21.8104& 8& 1\end{array}$$Mit der vorletzten Zeile in der Tabelle wissen wir, dass $$1,1^{22} \approx 8,140 $$Das Ziel ist aber einen Wert \(y\) zu berechnen, für den gilt$$1,1^{y} = 8 \implies \log_8(1,1) = \frac{1}{y}$$Dazu führt man eine (lineare) Interpolation der beiden vorletzten Zeilen zwschen den Exponenten \(21\) und \(22\) durch und kommt zu$$\log_8(1,1) \approx \frac{1}{21,8104} \approx 0,0458496$$das lässt sich alles mit den Grundrechenarten machen. Falls Du Fragen zur Interpolation hast, so melde Dich bitte. Mit diesem Faktor \(1/y\) multipliziert man nun den Exponenten in der ersten Spalte und kommt damit zur dritten Spalte in der Tabelle.

Um den \(\log_8(5,425)\) zu berechnen, sucht man sich nun die beiden Zeilen in der Spalte \(x\) heraus, zwischen denen sich dieser Wert befindet. Das ist hier$$\begin{array}{rrr}\text{Exp.}& x& \log_8(x)\\\hline17& 5.054& 0.7794\\ 18& 5.560& 0.8253\end{array}$$Und dann führt man wieder eine Interpolation durch, um auf den entsprechenden Wert in der rechten Spalte zu kommen:$$\log_8(5,425) \approx 0,7794(1-t) + 0,8253t \approx 0,813 \quad t = \frac{5,425-5,054}{5,560 -5,054 }\\ \implies \log_8(22222) \approx 4,813$$Nun sollte auch klar sein, wie man die Genauigkeit erhöht. Statt \(1,1\) muss man einen Wert wählen, der noch näher an \(1\) liegt. Also z.B. \(1,001\) oder \(1,0001\). Umso näher man an \(1\) kommt, desto kleiner werden die Intervalle in denen interpoliert werden muss und desto genauer wird das Ergebnis. Nur die Größe der Tabelle wächst dadurch auch deutlich an!

siehe auch Logarithmentafel.

Bem.: im Allgemeinen wird man ja keine Tabelle für den Logarithmus für jede beliebige Basis (hier \(8\)) aufstellen, sondern zur Basis \(10\) und dann mit der gängigen Umrechnung den Wert der anderen Basis berechnen:$$\log_8(5,425) = \frac{\log_{10}(5,425)}{\log_{10}(8)}$$Man benötigt also für alle Basen nur eine Tabelle mit der gewünschten Genauigkeit.

Gruß Werner

von 45 k

Hm, ziemlich aufwendig. Ich verstehe einige Schritte noch nicht genau. Ist jetzt vielleicht zu kompliziert das auf dieser Plattform alles eindeutig zu klären(auch wenn ich es eigentlich gerne genau verstehen würde).

Es scheint mir so als wäre die Berechnung einer Wurzel schwieriger als die einer Potenz und die eines Logarithmus nochmals schwieriger als die einer Wurzel.

Wenn man bedenkt das ein normaler PC von solchen Berechnungen einen solchen Logarithmus wahrscheinlich mehrere Milliarden Mal pro Sekunden berechnen kann (auf 5 Nachkommastellen oder so) scheint mir meine eigene  "Rechenkapazität" arg begrenzt.

Danke für die Antwort.

Ist jetzt vielleicht zu kompliziert das auf dieser Plattform alles eindeutig zu klären

Nö - eigentlich nicht. Wenn Dir die Logarithmengesetze bekannt sind, sollte es recht einfach sein.

auch wenn ich es eigentlich gerne genau verstehen würde

Dann solltest Du konkret nachfragen an welcher Stelle, Du was nicht verstehst. Ist Dir klar wie ich auf \(1,1^{22} \approx 8,140\) komme?

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Wie rechne ich diese Aufgabe schritt für schritt bis zur letzen Kommastelle aus (schriftlich ohne Taschenrechner)?

Bist du sicher, dass dort eine rationale Zahl heraus kommt?

Viel Spaß

blob.png

von 446 k 🚀
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log_8(22 222)

8^x= 22 222

x= ln22 222/ln8 = 4,813....

von 7,9 k

Ich meinte eigentlich einen Rechenweg. Das ist ja ein Taschenrechner rechenweg. Ich meinte aber einen schriftlichen Rechenweg. Ohne Taschenrechner.

Es würde auch ausreichen es zur 10. Stelle auszurechnen solange der Rechenweg es potentiell hergibt es auch bis zur 10 trillionsten Stelle( oder mehr) auszurechnen. Und ich sage es nochmal ich meinte ohne Taschenrechner oder andere elektronische oder mechanische (Abakus) Hilfe. Nur Zettel und Stift. Existiert sowas nicht oder weiß niemand die Antwort hier?

Ich meinte eigentlich einen Rechenweg. Das ist ja ein Taschenrechner rechenweg. Ich meinte aber einen schriftlichen Rechenweg. Ohne Taschenrechner.

Hast du immer noch nicht begriffen, dass dir die Antwortgeber drastische verdeutlichen wollten, dass es für deinen ursprünglichen Wunsch "bis zur letzten Kommastelle" keine Lösung geben kann!

Jetzt machst du auf einmal einen Rückzieher:

Es würde auch ausreichen es zur 10. Stelle auszurechnen

Dann musst du mit entsprechenden Taylorreihen arbeiten und kannst abbrechen, wenn du die gewünschte Genauigkeitsschranke erreicht hast (Nach einem Tag rechnen sollte das er Fall sein).

Achso , weil Wurzeln kann man ja ausrechnen schriftlich, darum hatte ich gedacht dass dies auch bei Logarithmen möglich sein müsste, da Logarithmen Potenzen und Wurzeln ja die gleiche Rechenart sind. Potenzen lassen sich ja auch schriftlich in beliebiger Größe ausrechnen.

Man kann addieren und subtrahieren.

Man kann hier auch jeweils nach allen 3 Attributen der Rechnung fragen und dies entsprechend durch Umstellungen lösen.

Gleichfalls kann man multiplizieren und entsprechend auch dividieren.

Und auch hier kann man jeweils nach allen Attributen fragen und es entsprechend auflösen (also beispw. Nach divident, Differenz oder divisor)

Es wäre sehr seltsam, wenn man potenzieren und radizieren könnte, aber nicht logarithmieren.

Nach welchem Algorithmus geht den ein Taschenrechner vor?

Achso , weil Wurzeln kann man ja ausrechnen schriftlich,

Wie rechnest du "schriftlich" \( \sqrt{17} \) aus?

Nach welchem Algorithmus geht den ein Taschenrechner vor?

Das findest Du unter CORDIC.

Screenshot_20221120-174708.png

Text erkannt:

Mathematikmaterialien von Tino Hempel
Das schriftliche Ziehen einer Quadratwurzel
Sobald man die Wurzel aus einer Zahl ziehen soll, greift man ganz selbstverständlich zum Taschenrechner. Ohne dieses Hilfsmittel kann man
das Ziehen der Wurzel aus einer Zahl geht auch ohne Näherungsverfahren
"per Hand"
Das Prinzip am Beispiel gezeigt
Das schriftliche Wurzelziehen lässt sich am einfachsten mit einem Beispiel beschreiben. Wenn das schriftliche Dividieren beherrscht wird, werden keine Schwierigkeiten entstehen.
Angenommen es wird dringend die Wurzel aus der Zahl 119025 benötigt, also \( \sqrt{119025}= \) ?
Der Hintergrund
Das Verfahren nutzt folgendes aus:

Alternativ geht es auch näherungsweise.

16kleiner als 17 25 größer als 17 womit man die erst Zahl weiß(4) danach nimmt man dann bspw 4,1x4,1 (da 16 deutlich näher an 17 ist als25) und zur Probe schaut man noch ob 4,2 x4,2 über 17 liegt. Und so dann immer weiter Prinzip sollte klar sein

Und so dann immer weiter Prinzip sollte klar sein


Dass es diverse Näherungsverfahren gibt ist klar.

Ich habe immer noch dein "bis zur letzten Kommastelle" im Gedächtnis.

Wenn es so klar ist warum fragst du dann? Um mich zu provozieren? Um aus mir die Antwort hervorzulocken dass ich die letzte Stelle nicht errechnen kann weil die zweite Wurzel aus 17 eine irrationale Zahl ist? Wie böswillig. Im übrigen habe ich mittlerweile hier diverse Fragen beantwortet meine ist jedoch immernoch unbeantwortet

dieses Näherungsverfahren lässt sich auch auf den Logarithmus anwenden fällt mir grade auf.

VIelleicht nicht die eleganteste und vielleicht auch nicht die effizienteste Lösung,

aber eine Lösung.

Womit ich mir meine Frage selbst beantwortet hätte.


Diese Disskusion hat jedoch dazu beigetragen, also danke dafür.

Mit Papier und Bleistift?

Die Materialauswahl liegt im Ermessen des rechnenden.

Du hast geschrieben "schrifltich ohne Taschenrechner".

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