Körper und Untergruppe, kompexe Zahlen, Beweise

Question

Aufgabe:

a) Wir wissen, dass \( \mathbb{C} \) ein Körper ist. Zeigen Sie, dass auch die Menge

\( C:=\left\{\left(\begin{array}{cc}\alpha & -\beta \\ \beta & \alpha\end{array}\right): \alpha, \beta \in \mathbb{R}\right\} \)

mit den Verknüpfungen + und · definiert durch

\( \begin{aligned}\left(\begin{array}{cc}\alpha & -\beta \\ \beta & \alpha\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{cc}a & -b \\ b & a\end{array}\right) &:=\left(\begin{array}{cc}\alpha a-\beta b & -(\alpha b+\beta a) \\ (\alpha b+\beta a) & \alpha a-\beta b\end{array}\right), \\\left(\begin{array}{cc}\alpha & -\beta \\ \beta & \alpha\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}a & -b \\ b & a\end{array}\right) &:=\left(\begin{array}{cc}\alpha+a & -(\beta+b) \\ (\beta+b) & \alpha+a\end{array}\right) \end{aligned} \)

ein Körper ist, indem Sie eine bijektive Abbildung \( \varphi: \mathbb{C} \longrightarrow C \) angeben, die mit \( + \) und \( \cdot \) in \( \mathbb{C} \) bzw. \( C \) verträglich ist.

b) Zeigen Sie, dass die Menge

\( C^{\prime}:=\left\{\left(\begin{array}{cc}\alpha & -\beta \\ \beta & \alpha\end{array}\right): \alpha, \beta \in \mathbb{R}, \alpha^{2}+\beta^{2}=1\right\} \)

mit · eine Untergruppe von (C, ·) ist.

Ich wäre sehr dankbar wenn mir jemand hier helfen könnte, ich verstehe fast gar nichts hier :((((

Comments

zu a) du kannst jede komplexe Zahl z (eindeutig) schreiben als z=a+i*b mit reellen Zahlen a, b. a heißt der Realteil und b der Imaginärteil von z.

Komplexe Zahlen bestehen also aus zwei unabhängigen reellen Zahlen. Die Matrizen bestehen auch aus zwei unabhängigen reellen Zahlen. Vielleicht korrespondieren diese ja irgendwie miteinander.

Betrachte für z=α+iβ und w=a+ib einfach mal z+w und z*w. Was kannst du über deren Real- und Imaginärteile sagen? Findest du diese eventuell in oben angegebener Matrixsumme bzw Matrixprodukt wieder?

Dann sollte es dir nicht schwer fallen zu erkennen welche Einträge zum Realteil und welche zum Imaginärteil gehören.

Answer 1

a)  Definiere \( \varphi: \mathbb{C} \longrightarrow C \) durch

\( \varphi(x+iy) =  \left(\begin{array}{cc} x& -y \\ y & x\end{array}\right) \)

und zeige

\( \varphi((x+iy)+(u+iv)) =\varphi((x+u)+i(y+v)) \)

                      \(=  \varphi(x+iy) + \varphi(u+iv)  \)

und entsprechend für die Multiplikation.