Konstruktion Reihe , die nicht konvergiert

Question

Aufgabe:

Konstruiere eine Reihe, die konvergiert ∑_k=0ⁿ a_k n∈ℕ und eine Permutation ihrer Glieder, also eine Bijektion ∅: ℕ->ℕ, sodass die entstehende Reihe ∑_k=0ⁿ a_∅(k) n∈ℕ nicht konvergiert.

Answer 1

Aloha :)

Du brauchst eine Reihe, die zwar konvergiert, aber nicht absolut konvergiert.

Das typsiche Beispiel dafür ist die alternierende harmonische Reihe:$$\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k+1}=\ln(2)$$Gemäß des Leibnitz-Kriteriums reicht für es für die Konvergenz alternierender Reihen bereits aus, dass die Folge $\left(\frac{1}{k+1}\right)$ eine monotone Nullfolge ist.

Diese Reihe ist aber nicht absolut konvergent, denn:$$\sum\limits_{k=0}^\infty\left|\frac{(-1)^k}{k+1}\right|=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1}{k+1}=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac1k\to\infty$$

Wenn du die alternierende harmonische Reihe so umordnest, dass zuerst alle Summanden mit geraden $k$ addiert werden, von denen es unendlich viele gibt, kommen die Summanden mit ungeraden $k$ nie an die Reihe, sodass keine Konvergenz eintritt.

Comments

Eine seltsame Umordnung der harmonischen Reihe.

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Jedenfalls kein Beitrag zu Lösung der Aufgabe