Aloha :)
Der "Trick" ist, den Betrag nach oben durch einen einfacheren Term abzuschätzen:∣∣∣∣∣5n+73n+2−53∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣5⋅(5n+7)5⋅(3n+2)−3⋅(5n+7)∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣5(5n+7)(15n+10)−(15n+21)∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣5n+73n+2−53∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣5(5n+7)−11∣∣∣∣∣=5(5n+7)11<25n11<24n11<24n12<2n1<!εBei den ersten beiden Kleiner-Abschätzungen wurde der Nenner verkleinert, wodurch der Bruch größer wird.
Für beliebig gewähltes ε>0 kannst du nun die Forderung (2n1<!ε) nach n umstellen und aufrunden, um ein (N(ε)=⌈2ε1⌉) angeben zu können, ab dem garantiert gilt:∣∣∣∣∣5n+73n+2−53∣∣∣∣∣<2n1<εfu¨rn≥N(ε)=⌈2ε1⌉