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Aufgabe 1
Sei ε>0 \varepsilon>0 . Finden Sie ein N=N(ε)N N=N(\varepsilon) \in \mathbb{N} , so dass für alle nN n \geq N gilt:
3n+25n+735<ε. \left|\frac{3 n+2}{5 n+7}-\frac{3}{5}\right|<\varepsilon .
Aufgabe 2
Seien (an)n \left(a_{n}\right)_{n} und (bn)n \left(b_{n}\right)_{n} zwei konvergente Folgen reeller Zahlen mit
limnan=a und limnbn=b. \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=a \quad \text { und } \quad \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}=b .

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Aloha :)

Der "Trick" ist, den Betrag nach oben durch einen einfacheren Term abzuschätzen:3n+25n+735=5(3n+2)3(5n+7)5(5n+7)=(15n+10)(15n+21)5(5n+7)\left|\frac{3n+2}{\green{5n+7}}-\frac{3}{\red5}\right|=\left|\frac{\red5\cdot(3n+2)-3\cdot\green{(5n+7)}}{\red5\cdot\green{(5n+7)}}\right|=\left|\frac{(15n+10)-(15n+21)}{5(5n+7)}\right|3n+25n+735=115(5n+7)=115(5n+7)<1125n<1124n<1224n<12n<!ε\phantom{\left|\frac{3n+2}{\green{5n+7}}-\frac{3}{\red5}\right|}=\left|\frac{-11}{5(5n+7)}\right|=\frac{11}{5(5n+7)}<\frac{11}{25n}<\frac{11}{24n}<\frac{12}{24n}<\frac{1}{2n}\stackrel!<\varepsilonBei den ersten beiden Kleiner-Abschätzungen wurde der Nenner verkleinert, wodurch der Bruch größer wird.

Für beliebig gewähltes ε>0\varepsilon>0 kannst du nun die Forderung (12n<!ε)(\frac{1}{2n}\stackrel!<\varepsilon) nach nn umstellen und aufrunden, um ein (N(ε)=12ε)\left(N(\varepsilon)=\left\lceil\frac{1}{2\varepsilon}\right\rceil\right) angeben zu können, ab dem garantiert gilt:3n+25n+735<12n<εfu¨rnN(ε)=12ε\left|\frac{3n+2}{{5n+7}}-\frac{3}{5}\right|<\frac{1}{2n}<\varepsilon\quad\text{für}\quad n\ge N(\varepsilon)=\left\lceil\frac{1}{2\varepsilon}\right\rceil

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Du hast da glaube ich einen kleinen Fehler eingebaut, anstatt der -6 müsste dort eine -11 stehen. Oder? Demzufolge müsste das Folgende auch angepasst werden.

Ja stimmt, habe es korrigiert.

Danke für den Hinweis ;)

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Hallo

a) Bruch auf den Hauptnenner bringen  dann Betrag nehme, Bruch verkleinern indem man im Nenner die Zahl durch n ersetzt  für n> Zahl dann n(ε) aus der Ungleichung ausrechnen, N die nächst größere ganze Zahl

lul

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